ВНЕКЛАССНОЕ МЕРОПРИЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
«Магические квадраты»
«…математические истины бессмертны, не подвержены тлению и остаются одинаковыми вчера, сегодня и вечно».
Эрик Темпл Белл
Выполнила Марко Наталья Юрьевна
Внеклассное мероприятие по математике
Устный журнал «Магические квадраты».
Форма проведения: устный журнал.
Цель: привлечь внимание обучающихся к предмету математики.
Задачи: :
- формировать умение использовать знания в нестандартной ситуации;
- развивать самостоятельность и ответственность за результаты своей деятельности;
Формировать доброжелательное отношение к одноклассникам, учить толерантности;
Воспитывать коммуникативные навыки общения; умения слушать и слышать;
Стимулировать интерес к математике через элементы историзма.
Компетенции:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели способов ее
достижения. (компетенция личностного самосовершенствования)
ОК 6. Работать в коллективе и команде. (коммуникативная компетенция)
Оборудование и оформление:
Проектор, экран,
Листы бумаги, ручки,
Презентация устного журнала «Магические квадраты»;
План мероприятия.
1. Объявление темы, цели мероприятия.
2. Выступление ведущих по страницам устного журнала:
1 страница «Историческая» - история возникновения магических квадратов.
2 страница «Познавательная» - виды и свойства магических квадратов.
3 страница «Практическая» - простые способы составления магических квадратов.
4 страница «Исследовательская» - области применения магических квадратов.
5 страница «Занимательная» - определение своего характера с помощью квадрата
Пифагора.
6 страница «Заключительная» - выводы.
3. Итоги мероприятия.
Ход мероприятия.
Устный журнал «Магические квадраты»
Ведущий: Добрый день!
СЛАЙД 1
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь :
СЛАЙД 2 магические квадраты - удивительные представи тели воображаемого мира чисел. На страницах нашего журнала м ы познакомим вас с историей возникновения и развития магических квадратов; с их свойствами; с основными методами построения магических квадратов и рассмотрим области их применения, а также проверим утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения.
СЛАЙД 3 1 страница «Историческая»
СЛАЙД 4
ИМПЕРАТОР Выходит ученик в костюме императора:
«Далёкое время
Застыло на камне,
А мы прикоснулись к нему.
Попала к нам в руки
Великая тайна,
Мы сбросим веков пелену».
Здравствуйте, дети! Я – китайский мудрец и император Ю, живший более 4 тысяч лет назад. Однажды я гулял по берегу реки Хуанхэ. И вдруг увидел черепаху. На её панцире был начертан таинственный узор, напоминающий форму квадрата.
« Да, она священна!», - воскликнул я.
Линии узора складывались таким образом, что можно было разглядеть числа от 1 до 9, причем эти числа были расположены таким образом, что во всех направлениях, будь то вертикаль, горизонталь или диагональ, их сумма была равна 15.
Эти знаки сейчас известны под названием Ло-Шу и равносильны магическому квадрату.
СЛАЙД 5
ИСТОРИК Математические или волшебные квадраты были известны еще арабам и индусам. В Европе они появились в 15 веке благодаря византийскому писателю Мосхопуло.
СЛАЙД 6 Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат Альбрехта Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия». Дата создания гравюры - 1514 год - указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Говорят, что гравюра Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса.
СЛАЙД 7 Магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
СЛАЙД 8
2 страница «Познавательная»
СЛАЙД 9 Магический , или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная n² числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n².
СЛАЙД 10 Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоя щих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной или магической константой.
СЛАЙД 11 Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени
Известно, что магических квадратов 2х2 не существует. Магических квадратов 3х3 – один – остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами. Магических квадратов 4х4 уже более 800, а количество магических квадратов 5х5 близко к четверти миллиона.
Магические квадраты обладают следующими свойствами:
СЛАЙД 12
- Если все числа в клетках магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получим магический квадрат.
СЛАЙД 13
- Если все числа в клетках магического квадрата умножить на одно и то же число, то также получим магический квадрат.
СЛАЙД 14, СЛАЙД 15, СЛАЙД 16, СЛАЙД 17
3. При отражении, относительно одной из осей симметрии магического квадрата получим тоже магический квадрат.
СЛАЙД 18
4. При повороте вокруг центра на угол магического квадрата, получим магический квадрат.
СЛАЙД 19 Латинским квадратом называется квадрат n * n клеток, в которых написаны числа от 1, до n , при том так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.
СЛАЙД 20 3 страница «Практическая »
Хочу предложить вам задачу: заполнить квадрат 3*3 натуральными числами от 1 до 9 так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова. Даю подсказку – сумма равняется 15.
С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения. Мы рассмотрим самый простой и доступный практически всем способ.
СЛАЙД 21 Старинный прием составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т.п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Способ Баше пригоден и для 9- клеточного квадрата. Мы начнем исследование способа именно с этого примера. Итак, приступим к составлению 9- клеточного магического квадрата по способу Баше.
Начертим квадрат, разграфленный на девять клеток. Приведем наш квадрат к виду ромба, достроив по 1 клеточке с каждой стороны. Впишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд.
Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат.
Применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5 клеток.
СЛАЙД 22
Строим, квадрат с 25 клетками и временно дополняем его до, симметричной ступенчатой фигуры (того же ромба) со ступеньками в одну клетку.
- В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
- А теперь каждое число, оказавшееся вне исходного квадрата, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…
Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими
СЛАЙД 24 4 страница «Исследовательская»
Когда мы рассмотрели способы составления магических квадратов, нас заинтересовала область их применения. Она показалась нам довольно таки интересной.
СЛАЙД 25 Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье.
СЛАЙД 26 Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Магические квадраты применяются в криптографии для шифровки и расшифровки сообщений. Как вы думаете, легко ли расшифровать эту фразу?
– Действительно, расшифровать её практически невозможно если у вас нет магического квадрата при помощи которого она и была зашифрована.
Сейчас попробуем это сделать вместе. Этот магический квадрат 5 порядка – и есть наш ключ!
Математика – «это ключ и дверь ко всем наукам» (Галилео Галилей).
Теперь вы и сами сможете зашифровать что-нибудь с помощью магических квадратов, если учесть, что квадратов 5 порядка существует, как мы знаем, более 275 млн. прочесть ваше сообщение вряд ли кто-нибудь сможет. Для этого понадобиться супер компьютер. Расшифровать сообщение сможет только тот, кому вы сообщите квадрат-ключ.
СЛАЙД 27 Так же очень популярна головоломка «судоку», прародителем которой можно считать Магический квадрат. Многие считают, что «судоку» является японским развлечением, но на самом деле Япония может считаться только родиной названия.
По некоторым данным решения головоломок «судоку» улучшает память, логику мышления, а также препятствует развитию и даже лечит заболевания связанные с головным мозгом (такие, как болезнь Альцгеймера). Потому, ученые рекомендуют ежедневно решать кроссворды «судоку».
СЛАЙД 28 Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.
СЛАЙД 29 В последние годы магические квадраты - элементы прогресса нанотехнологий. Ф ирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно компоновать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются как четкость изображений, так и цветовые переходы.
СЛАЙД 30 5 страница «Занимательная»
СЛАЙД 31 Изучая магические квадраты, мы обнаружили еще один занимательный квадрат - квадрат Пифагора, представляющий исторический интерес и полезный для составления психологического портрета личности.
СЛАЙД 32 Выполняя несложные расчеты с цифрами даты своего рождения, мы получили вот такие квадраты.
Предлагаем сейчас вам сделать свои квадраты. На моем примере
Я родилась 25 мая 2007 года. Записываем: число, месяц, год без нулей (порядок не нарушать): 25527.
1. Вычислим первое число: для расчета первого числа необходимо сложить все цифры числового ряда даты рождения 2+5+5+2+7= 21, первое число – 21
2. Вычислим второе число: для расчета второго числа необходимо сложить цифры, из которых состоит первое число 2+1=3, второе число – 3 .
3. Вычислим третье число: для расчета третьего числа необходимо вычесть из первого числа первую цифру всего ряда (в моем примере цифра 2), умноженную на постоянный множитель – 2.
21 – 2 ∙ 2 = 17, третье число – 17.
4. Вычислим четвертое число. Для вычисления четвертого числа необходимо сложить цифры, из которых состоит третье число 1+7=8, четвертое число – 8. Запишем полученные числа под датой рождения:
|
25527 |
|||
|
213178 |
|||
|
11 |
- |
77 |
|
|
222 |
55 |
8 |
|
|
3 |
- |
- |
|
Выпишем одинаковые цифры в математический квадрат Пифагора (кроме цифры 0).
По каждому качеству определите процент совпадения с вашими представлениями о себе.
Ячейки квадрата означают следующее:
Ячейка единиц – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
Количество двоек определяет уровень эмоциональности, душевности, чувственности, биоэнергетики.
Ячейка троек – точность, аккуратность, пунктуальность.
Ячейка четверок – здоровье.
Ячейка пятерок – интуиция
Ячейка шестерок –материальность, расчет.
Количество семерок определяет меру таланта.
Количество восьмерок определяет степень чувства долга.
Ячейка девяток – ум, мудрость.
Если вас заинтересовала более подробная расшифровка, то с ней сможете ознакомится на интернет страницах.
СЛАЙД 34
Но не следует слепо верить всему магическому. Может быть, некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе, попытаться помочь себе и близким стать лучше.
СЛАЙД 35 6 страница «Заключительная»
СЛАЙД 36 В завершении нашего журнала хотелось бы отметить : несмотря на то, что собственно магические квадраты пока не нашли широкого применения в науке, технике и жизни человека, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию некоторых разделов математики: теории групп, матриц, комбинаторного анализа, а также способствуют улучшению памяти, развитию умения просчитывать ход своих мыслей на несколько шагов вперед.
СЛАЙД 37 У современной молодежи приоритетными являются престижные и «комфортные» профессии, и мы считаем, что использование квадрата Пифагора для определения своих возможностей и способностей, заложенных природой, поможет с выбором профессионального пути.
СЛАЙД 39 Спасибо за внимание!
Ведущий: В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков приводили людей в неописуемый, доходящий до экзальтации восторг, когда они как чуду внимали совершенству незатейливых суммирующих закономерностей.
Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить магические квадраты самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось таинством, сегодня представляется ремеслом.
Цели:- Цели:
- 1. Познакомиться с магическими квадратами.
- 2. Узнать историю возникновения квадратов.
- 3. Научиться правильно и быстро заполнять магические квадраты.
- Задачи:
- 1. Изучить историю возникновения и развития магических
- квадратов;
- 2. Изучить свойства магических квадратов;
- 3. Познакомиться с основными методами построения
- магических квадратов.
- Порядок магического квадрата.
- Слово «порядок» означает в данном случае число клеток на одной стороне квадрата. Квадрат 33 имеет третий порядок, а квадрат 55 – пятый, и т.д.
- История возникновения магических квадратов.
- Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.
- Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15.
- Согласно одной из легенд, прообразом стал узор украшавший панцирь огромной черепахи.
- Магический квадрат 3 порядка.
- Сумма чисел в каждом ряду 15
- Магический квадрат 4 порядка.
- Сумма чисел в каждом ряду 34.
- Магический квадрат 5 порядка.
- Сумма чисел в каждом ряду 65.
- Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. Например 3 клетки квадрат 3 –го порядка, 4 клетки –квадрат 4 порядка, и т.д. В большинстве магических квадратов используются первые последовательные натуральные чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n²+1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.
- В начале 16в. знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия» . Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34.
- Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны.
- Судоку: японские головоломки. Эту игру, также известную как магический квадрат придумал в 1783 году швейцарский математик Леонард Эйлер.
- Судоку (яп. «су» - число, «доку» - рядом, стоящее отдельно) – японские числовые головоломки, где в квадрате 9х9 клеток нужно расставить числа от 1 до 9 особым образом.
- В настоящее время судоку широко распространены за пределами Японии: их любят разгадывать как взрослые, так и дети по всему миру.
- Задача 1. Впиши в пустые прямоугольники недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34.
- Ответ:
- В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
- Практическое использование получили не сами магические квадраты, а методы, и целые разделы современной математики, которые возникли и развивались, благодаря решению задач составления и анализа свойств магических квадратов.
- Как и много веков назад, волшебные квадраты сейчас используют только современные «маги», астрологи и нумерологии.
- 1. Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное.
- 2. Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила.
- 3. Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.
- Из полученной презентации мы узнали разновидности магических квадратов, историю их возникновения, а также применение в современном мире.
- 1. Трошин В.В.. Магия чисел и фигур. М.: - ООО «Глобус», 2007.
- 2. Энциклопедия для детей. – М.: Издательское объединение «Аванта», 2003.
- 3. Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4
- 4. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3
- 5. Интернет
Из глубины веков Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.
Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n×n, заполненная натуральными числами от 1 до n 2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты чётного и нечётного порядка(в зависимости от чётности n).
Самый «старый» из дошедших до нас магический квадрат – таблица Ло шу (около 2200 г. до н. э.)
Магический квадрат 4-го порядка, был известен ещё древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов)
Квадрат Дюрера имеет размер 4×4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна
Оказывается, 34 равны и суммы других четвёрок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат
Как построить магический квадрат? Поиском способов составления магических квадратов многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата. Однако общего метода построения до сих пор не существует.
Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат
Выделим в центре квадрат размером 5×5. Он и составит основу будущего магического квадрата
Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесём внутрь – к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток
Магический квадрат готов
Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам
Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь справа налево и снизу вверх. Магический квадрат построен
Рассмотрим способы построения магического квадрата любого чётного порядка. Во всех случаях таблицу n×n заполняют слева направо и сверху вниз натуральными числами от 1 до n 2 в их естественном порядке. Затем по определённому правилу переставляют числа в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим.
Разделим квадрат, заполненный числами от 1 до 64, на квадраты 4-го порядка
В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата закрасим в шахматном порядке по две клетки
Для каждой из отмеченных клеток выделим тем же цветом симметричную ей относительно вертикальной оси
Число, стоящее в каждой из шестнадцати закрашенных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки
Построение квадрата завершено
Для примера возьмём квадрат 10×10. Разделим заполненный числами от 1 до 100 квадрат на квадраты 5-го порядка
В левом верхнем квадрате закрасим разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце по две клетки из первой группы и по одной из второй и третьей. Одинаковым цветом выделим клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных
Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрасим таким же цветом
Число, стоящее в каждой из отмеченных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки
Содержимое каждой клетки второй группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси квадрата
Содержимое каждой клетки третьей группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси квадрата
36
Вопросы Изучая способы построения магических квадратов, я поняла, что важно знать их постоянные, т. е. сумму чисел в любой строке, столбце или на диагонали. Конечно, если квадрат построен и значение n невелико, то сумму можно вычислить. А А что делать, если квадрат ещё не построен? И Или нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? И как составить сам квадрат, не зная его постоянной?
Располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Если разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова, то получится квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.
Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием Ло-шу и равносильны магическому квадрату.
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.
Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90º или на 180° таких квадратов 8.
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). гравюреАльбрехта Дюрера1514 Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (), в квадрате из угловых клеток (), в квадратах, построенных «ходом коня» (и), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (и). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат
Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Составление Магического квадрата Начертив квадрат, разграфлённый на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке. Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше)
Магического квадрата Пифагора Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения.
Магические квадраты привлекают к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
Аристеев Сергей
Данная работа отвечает на вопросы: что такое магические квадраты и как его построить?. Дана легенда о магическом квадрате. Перечислены различные способы построения магичнских кавдратов: метод террас, метод квадратных рамок, метод Рауз-Болла, метод Делаира. Дана прктическая работа по составлению магических квадратов
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Магические квадраты Работа Аристеева Сергея, ученика 5 класса МКОУ " Камышовская ООШ" Лиманского района Астраханской области Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учителя математики с.Камышово, 2013 г. «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии ». Леонард Эйлер
ответить на вопрос: что такое магический квадрат и как его построить. Цель проекта: Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Узнать историю магических квадратов. Научиться строить магические квадраты различными способами.
Постановка проблемы Легенда о магическом квадрате Как составлять магические квадраты Правило « ло -шу» Метод Рауз - Болла Метод террас Метод квадратных рамок Метод Д елаира или метод латинских квадратов Заключение. Литература Содержание
Расставьте натуральные числа от 1 до 9 т ак, чтобы сумма чисел столбцов и строчек была одинаковой. Чтобы решить эту задачу обратимся к истории. Постановка проблемы
В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок ») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков. Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица: Легенда о магическом квадрате
У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Т от же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15. Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали « Л о-шу » и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Числовой квадрат называют магическим, если суммы S каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы. Числовым квадратом порядка n, где n – натуральное число, будем называть квадрат разбитый на клеток, на которых размещается натуральные числа от 1 до Что называется магическим квадратом?
К вадраты можно получить из « ло -шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°, 180° или 270°, либо зеркально отражая его. Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов. Новые магические квадраты получают: методом террас методом квадратных рамок методом Делаира, или методом латинских квадратов Как составляют магические квадраты?
Магический квадрат « ло -шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4-15= = Зх + 3-15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5. Правило « ло -шу»
Несложно написать магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку. теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика: Метод Рауз-Болла 1 5 2 3 7 9 10 11 6 13 4 16 12 8 14 15 16 13 4 1 11 10 7 6 16 2 3 13 5 9 4 14 15 1 8 12 11 10 7 6
Инструкция При диагонали соединяют не только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх угловых квадратах 4х4 (см. рис.); взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка
Готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов Построение магического квадрата методом террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка. Алгоритм С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо). Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом: числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем магический квадрат 3 3 . Сумма чисел = 15 . МЕТОД ТЕРРАС 1 4 2 7 5 3 8 6 9 4 9 2 3 5 7 8 1 6
Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас. Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму. 1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка. 2. Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем: Построение магического квадрата n=5
Практическая работа. 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
6 32 18 44 30 40 16 42 28 4 14 50 26 2 38 48 24 10 36 12 22 8 34 20 46 На рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4·m (m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4. Для магических квадратов четно-четного порядка применяется метод квадратных рамок. Алгоритм На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до 2n по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. Метод квадратных рамок.
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 13 12 14 15 16 17 18 19 21 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
4 5 3 6 2 21 20 7 1 22 19 8 16 23 36 37 18 9 24 15 35 38 10 17 25 34 14 53 52 11 39 32 33 26 54 13 12 51 31 40 48 55 27 30 50 41 56 47 28 29 42 49 57 46 43 64 58 45 44 63 59 62 60 61
Готовый магический квадрат 8-порядка
Определение. Обобщённым латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица размером n· n, среди элементов которой различными будут только n штук, и любой из n различных элементов встречается ровно n раз внутри этой таблицы. Описание метода построения: 1 этап. Строим обобщённый латинский квадрат порядка n следующим образом: каждая строка нижней половины квадрата заполняется путём последовательного чередования чисел i и n-i-1, где i – порядковый номер строки (строки нумеруются снизу вверх целыми числами от 0 до n-1); верхняя половина квадрата получается из нижней отражением относительно вертикальной оси симметрии. 2 этап. Строим второй обобщённый латинский квадрат из первого. Для этого надо повернуть построенный на первом этапе квадрат на 90 градусов по часовой стрелке. Замечу, что полученные таким образом два латинских квадрата будут ортогональными, но я не стала давать определение ортогональных латинских квадратов, потому что для понимания представленного метода построения это не имеет значения. 3 этап. Строим совершенный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого латинского квадрата элементы второго латинского квадрата – , тогда каждый соответствующий элемент совершенного квадрата получается по формуле: n + + 1 Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.
Первый Второй Магический латинский квадрат латинский квадрат квадрат четвёртого ттр порядка 2 1 2 1 1 3 0 3 0 1 2 1 2 0 3 0 3 0 1 3 2 3 2 0 1 0 1 3 2 3 2 0 1 9 6 12 7 16 3 13 2 5 10 8 11 4 15 1 14 Для нижней части квадрата: п ервая строка: i = 0, 4-i- 1= 4-0-1=3. Числа 0 и 3 чередуются Вторая строка: i =2, 4-2-1=1 . Числа 2 и 1 чередуются. Для верхней части квадрата симметрично отражаем числа нижней части (по стрелкам). i = 3 i = 2 i = 1 i = 0 Получили из первого квадрата поворотом на 90°по часовой стрелке. Получили по формуле =2·4+0+1=9 = 1·4+1+1=6 = 2·4+3+1=12 = 1·4+2+1=7 = 3·4+3+1=16 = 0·4+2+1=3 = 3·4+0+1=13 и тд 1 2 3 4 1 2 3 4
Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV - V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.). Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии. В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 - год издания этой гравюры А. Дюрера. Способами составления магических квадратов занимались многие математики: в XVI в. А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. А. Кирхер и Баше де Мезериак. Теорией магических квадратов занимался французский математик Делаир. Леонард Эйлер придумал метод шахматного коня для построения некоторых магических квадратов. Теория магических квадратов ни в коей мере не может считаться завершённой. До сих пор неизвестен общий метод построения всех магических квадратов и неизвестно их число.
Толковый словарь математических терминов. О.В. Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. - Сеятель, 1924. Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 576 с. М. М. Постников Магические квадраты. - М.: Наука, 1964. Н. М. Рудин От магического квадрата к шахматам. - М.: Физкультура и спорт, 1969. Е. Я. Гуревич Тайна древнего талисмана. - М.: Наука, 1969. М. Гарднер Математические досуги. - М.: Мир, 1972. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995. Ю. В. Чебраков Теория магических матриц. - СПб., 2008. М. Гарднер Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. - М.: Мир, 1990.Шахматный подход ЛИТЕРАТУРА