Нормальный делитель. Нормальные делители групп Задачи для самостоятельного решения

Смежные классы. Разложение группы по подгруппе

Пусть – группа, – ее подгруппа, – произвольный элемент группы . Составим множество . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . В общем случае .

Задача 61. В найти правый и левый смежные классы, определяе-мые элементом , если подгруппа .

Решение.

Составим классы

Заметим, .

Пусть – группа и – ее подгруппа.

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на один смежный класс.

Если , то в существует элемент и тогда составим класс .

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на два левых смежных класса .

Если , то имеем разложение группы на три смежных класса по подгруппе и т. д.

Процесс разложения группы по подгруппе на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным.

Аналогично можно получить разложение группы по подгруппе на правые смежные классы: .

Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.

В результате мы получаем два множества классов:

И – левое и правое фактор-множества множества по подмножеству . Длина этих множеств называется индексом подгруппы в группе .

Задача 62. Найти фактор-множество множества по подгруппе относительно операции сложения.

Решение. Операция сложения в коммутативная, поэтому левое и правое разложения по будут одинаковые. Разложим на на левые смежные классы.

Например, . Строим . . Имеем разложение по на два смежных класса. Фактор-множество: .

Задача 63. В мультипликативной группе

Возьмем подгруппу . Найти фактор-множество множества по .

Решение. При левостороннем разложении по имеем:

Т. е. левосторонний фактор-множество .

При правостороннем разложении по имеем:

Т. е. правостороннее фак-тор-множество , причем , .

Индекс подгруппы в равен 3.

Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе целых чисел, кратных 3.

Решение. .

Например, . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. , напри-мер, , . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам , т. е. разложение на смежные классы по имеет вид: . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы в равен 3.

Нормальный делитель группы. Фактор-группа

Если в группе относительно подгруппы при любом элементе , т. е. если любой элемент группы перестановочен с подгруппой , то подгруппа называется нормальным делителем группы .

Если операция в группе коммутативна, то любая подгруппа в группе является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми, то – нормальный делитель группы . Верно и обратное: если – нормальный делитель в группе , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми.

Является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда при любом и любом элемент .

Задача 65. Если индекс подгруппы группы равен 2, то – нормальный делитель группы .

Решение. Если подгруппа имеет индекс 2 в группе , то , где и , т. е. . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. – нормальный делитель группы .

Задача 66. Будет ли группа в задаче 63 нормальным делителем в группе ?

Решение. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов , и . Правостороннее разложение состоит из классов , , , но , , т. е. подгруппа не является нормальным делителем группы .

Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе всех чисел, кратных 3.

Решение. Так как сложение в коммутативно, то – нормальный делитель. Найдем разложение по : . Фактор-множество состоит из классов . Зададим на операцию сложения:

Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:

Например, . Это множество состоит из всех целых чисел , где , т. е. , . Тогда . Итак, мы получили фактор-группу , операция сложения в которой задана вышеука-занной таблицей Кэли.

Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе .

Решение. – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по : . Действительно, изобразим на числовой оси, а элементы отметим на ней точками:

Построим , где . Если , то , если , то элементы отметим звездочками. Тогда состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, . Тогда строим множество , элементы которого обозначим штрихом. Тогда состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы совпало с , необходимо, чтобы .

Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: , где , .

Задача 1. Проверить выполнение аксиом группы для а) множества целых чисел; б) множества четных целых чисел; в) множества нечетных целых чисел относительно операции сложения.

Решение. Обозначим черезZ 2 n – множество четных целых чисел, а черезZ 2 n -1 – множество нечетных целых чисел. Замкнутыми относительно сложения являются множествоZи множествоZ 2 n . В самом деле, складывая два целых числа, получаем целое число; складывая два четных целых числа, получаем также четное целое число. Напротив, при сложении двух нечетных чисел не получается нечетное число, что указывает на то, что множествоZ 2 n -1 незамкнуто относительно операции сложения.

Проверим выполнение других аксиом группы. Сложение является ассоциативной операцией. Нейтральным элементом на множествах ZиZ 2 n относительно сложения является 0. Далее, для любого целого числа (четного целого числа) противоположное ему число также является целым (четным целым).

Таким образом, можно сделать вывод, что и
– группы, а
не удовлетворяет определению группы, равно как и определениям моноида и полугруппы.

При этом обе группы
и
являются коммутативными (абелевыми), в силу коммутативности сложения.

Задача 2. Доказать, что множество четных целых чисел образует подгруппу аддитивной группы целых чисел.

Решение. Ранее доказано, что
– группа. При этом
. Тем самым, доказано, что
– подгруппа группы
.

Задача 3. Найти смежные классы группы
по подгруппе
.

Решение . Для удобства записи обозначим
. Левые смежные классы группы
по подгруппе
представлены ниже:

Очевидно, что левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми классами. Это является следствием коммутативности сложения. Следовательно, группа четных целых чисел является нормальным делителем аддитивной группы целых чисел.

Рассмотренный пример, кроме прочего, иллюстрирует ряд основных фактов, касающихся смежных классов:

а) одним из смежных классов является сама подгруппа Н (в данном случае это смежный класс Н + 0);

б) любые два смежных класса либо совпадают (например, Н + 0 и Н + 2), либо вовсе не пересекаются (например, Н + 0 и Н + 1);

в) множество смежных классов (например, левых) образует разбиение носителя группы; в данном случае
.

Задачи для самостоятельного решения

Если H 1 и H 2 – подмножества группы G , то произведением H 3 подмножеств H 1 и H 2 называется H 3 = H 1 ×H 2 º {h 3 ½h 3 = h 1 ×h 2 ; h 1 ÎH 1 ; h 2 ÎH 2 }.

Отметим, что если H 1 и H 2 – подгруппы группы G , то H 1 ×H 2 , вообще говоря, не подгруппа.

◀ В самом деле, если , то

Если бы можно было, то …. Но коммутативный закон, вообще говоря, не выполнен

Если H подгруппа G и a ÎG , то aH и Ha , рассматриваемые как произведения множества Н и одноэлементного множества {a }, называются левым и правым смежными классами подгруппы Н в G . Изменение а влечет за собой, вообще говоря, изменение смежных классов.

§7. Свойства смежных классов (сформулированы для левых,

но справедливы и для правых)

1° . a ÎH Þ aH º H . Доказать самостоятельно .

2° . a -1 b ÎH Þ aH = bH . ◀ a - 1 bH º H (из 1° ) и тогда bH = (aa - 1)bH = a (a - 1 bH ) = aH

3° . Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аН и bH имеют общий элемент, т.е. для h 1 , h 2 ÎH , ah 1 = bh 2 Þ a -1 b = ÎH и т.к. (из 2° )

4° . a ÎaH . Доказать самостоятельно .

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, аН = На , "a ÎG . Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами называется нормальным делителем группы G .

Т° . Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

Определения

Подгруппа N группы G называется нормальной , если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n из N и любого g из G , элемент g n g − 1 лежит в N :

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• {e } и G - всегда нормальные подгруппы G . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой .

• Центр группы - нормальная подгруппа.

• Коммутант группы - нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение - это всегда автоморфизм .

• Все подгруппы N абелевой группы G нормальны, так как g N = N g . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности - нормальная подгруппа евклидовой группы ; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика , подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения .
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна . Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p - наименьший простой делитель порядка G , то любая подгруппа индекса p нормальна.
• Если N - нормальная подгруппа в G , то на множестве левых (правых) смежных классов G / N можно ввести групповую структуру по правилу

(g 1 N )(g 2 N ) = (g 1 g 2)N Полученное множество называется факторгруппой G по N .

• N нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N .

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры - М .:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Нормальный алгорифм Маркова
• Нормальный электродный потенциал

Смотреть что такое "Нормальный делитель" в других словарях:

Нормальный делитель - инвариантная подгруппа, одно из основных понятий теории групп (См. Группа), введённое Э. Галуа. Н. д. группы G подгруппа Н, для которой gH = Hg при любом выборе элемента g группы G … Большая советская энциклопедия

НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ - нормальная подгруппа, инвариантная подгруппа, подгруппа Нгруппы G, для к рой левостороннее разложение группы Gпо подгруппе Нсовпадает с правосторонним, т. е. такая подгруппа, что для любого элемента смежные классы аН и На равны (в смысле… … Математическая энциклопедия

Нормальный ряд подгрупп - Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Нормальный ряд - Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия - топологическая группа, компактная как топологич. пространство. Напр., всякая конечная группа (в дискретной топологии) является К. г. Алгебраическая группа, хотя она и является компактным топологич. пространством (относительно топологии Зариского) … Математическая энциклопедия

ЛИ - КОЛЧИНА ТЕОРЕМА - разрешимая подгруппа Gгруппы GL(V)(V конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем) имеет нормальный делитель G1 индекса не более где р зависит только от dim V, такой, что в Vсуществует флаг инвариантный относительно G1.… … Математическая энциклопедия

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА - множество G, на к ром заданы две структуры группы и топологич. пространства, согласованные условием непрерывности групповых операций. А именно, отображение прямого произведения в G должно быть непрерывным. Подгруппа Н Т. г. Gявляется Т. г. в… … Математическая энциклопедия

← Вернуться