Usporedite primjere infinitezimalnih funkcija. Usporedba infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija

Test

Disciplina: Viša matematika

Tema: Granice. Usporedba infinitezimalnih veličina

1. Ograničenje niza brojeva

2. Ograničenje funkcije

3. Druga divna granica

4. Usporedba infinitezimalnih veličina

Književnost

1. Ograničenje niza brojeva

Rješavanje mnogih matematičkih i primijenjenih problema dovodi do niza brojeva specificiranih na određeni način. Otkrijmo neka od njihovih svojstava.

Definicija 1.1. Ako za svaki prirodni broj

prema nekom zakonu dodijeljen je realan broj, tada se skup brojeva naziva brojevnim nizom.

Na temelju definicije 1 jasno je da brojčani niz uvijek sadrži beskonačan broj elemenata. Proučavanje različitih nizova brojeva pokazuje da se kako se broj povećava, njihovi članovi ponašaju drugačije. Mogu se neograničeno povećavati ili smanjivati, mogu se neprestano približavati određenom broju ili uopće ne moraju pokazivati ​​nikakav obrazac.

Definicija 1.2. Broj

naziva se granica brojevnog niza ako za bilo koji broj postoji broj brojevnog niza ovisno o tome da je uvjet zadovoljen za sve brojeve brojevnog niza.

Niz koji ima limit naziva se konvergentan. U ovom slučaju pišu

.

Očito, da bi se razjasnilo pitanje konvergencije numeričkog niza, potrebno je imati kriterij koji bi se temeljio samo na svojstvima njegovih elemenata.

Teorem 1.1.(Cauchyjev teorem o konvergenciji niza brojeva). Da bi brojčani niz bio konvergentan potrebno je i dovoljno da za bilo koji broj

postojao je broj numeričkog niza koji ovisi o , tako da za bilo koja dva broja numeričkog niza i koji zadovoljavaju uvjet i , nejednakost bi bila istinita.

Dokaz. Nužnost. S obzirom da brojčani niz

konvergira, što znači da, u skladu s definicijom 2, ima limit. Izaberimo neki broj. Tada, prema definiciji limesa numeričkog niza, postoji broj takav da nejednakost vrijedi za sve brojeve. Ali budući da je proizvoljna, i bit će ispunjena. Uzmimo dva sekvencijska broja i , zatim .

Iz toga slijedi da

, odnosno dokazana je nužnost.

Adekvatnost. Dato je da

. To znači da postoji broj takav da za dani uvjet i . Konkretno, ako , i , tada ili pod uvjetom da . To znači da je niz brojeva za ograničen. Stoga barem jedan njegov podniz mora konvergirati. Neka . Dokažimo da konvergira također.

Uzmimo proizvoljno

. Zatim, prema definiciji granice, postoji broj takav da nejednakost vrijedi za sve. S druge strane, uvjetom je zadano da niz ima takav broj da će uvjet biti zadovoljen za sve. i popraviti neke. Tada za sve dobivamo: .

Iz toga slijedi da

Što su beskonačno male funkcije

Međutim, funkcija može biti infinitezimalna samo u određenoj točki. Kao što je prikazano na slici 1, funkcija je infinitezimalna samo u točki 0.

Slika 1. Infinitezimalna funkcija

Ako granica kvocijenta dviju funkcija rezultira 1, kaže se da su funkcije ekvivalentne infinitezimalne jer x teži točki a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definicija

Ako su funkcije f(x), g(x) infinitezimalne za $x > a$, tada:

• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom višeg reda u odnosu na g(x) ako je zadovoljen sljedeći uvjet:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom reda n u odnosu na g(x) ako je različita od 0 i ako je granica konačna:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Primjer 1

Funkcija $y=x^3$ je infinitezimalna višeg reda za x>0, u usporedbi s funkcijom y=5x, jer je granica njihovog omjera 0, što se objašnjava činjenicom da je funkcija $y=x ^3$ brže teži nultoj vrijednosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Primjer 2

Funkcije y=x2-4 i y=x2-5x+6 su infinitezimale istog reda za x>2, budući da granica njihovog omjera nije jednaka 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ do 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Svojstva ekvivalentnih infinitezimala

1. Razlika između dvije ekvivalentne infinitezimale je infinitezimal višeg reda u odnosu na svaku od njih.
2. Ako iz zbroja nekoliko infinitezimala različitih redova odbacimo infinitezimale viših redova, tada je preostali dio, koji se naziva glavni dio, ekvivalentan cijelom zbroju.

Iz prvog svojstva slijedi da ekvivalentne infinitezimale mogu postati približno jednake uz proizvoljno malu relativnu pogrešku. Stoga se znak ≈ koristi i za označavanje ekvivalencije infinitezimala i za pisanje približne jednakosti njihovih dovoljno malih vrijednosti.

Prilikom pronalaženja ograničenja vrlo je često potrebno koristiti zamjenu ekvivalentnih funkcija za brzinu i praktičnost izračuna. Tablica ekvivalentnih infinitezimala prikazana je u nastavku (tablica 1).

Ekvivalencija infinitezimala danih u tablici može se dokazati na temelju jednakosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

stol 1

Primjer 3

Dokažimo ekvivalentnost infinitezimalnog ln(1+x) i x.

Dokaz:

1. Nađimo granicu omjera količina
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstvo logaritma:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Znajući da je logaritamska funkcija kontinuirana u svojoj domeni definicije, možemo zamijeniti predznak granice i logaritamske funkcije:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ pravo)\]
4. Budući da je x infinitezimalna veličina, granica teži 0. To znači:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ desno)=\ln e=1\]

(primijenjena druga divna granica)

Što su beskonačno male funkcije

Međutim, funkcija može biti infinitezimalna samo u određenoj točki. Kao što je prikazano na slici 1, funkcija je infinitezimalna samo u točki 0.

Slika 1. Infinitezimalna funkcija

Ako granica kvocijenta dviju funkcija rezultira 1, kaže se da su funkcije ekvivalentne infinitezimalne jer x teži točki a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definicija

Ako su funkcije f(x), g(x) infinitezimalne za $x > a$, tada:

• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom višeg reda u odnosu na g(x) ako je zadovoljen sljedeći uvjet:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funkcija f(x) se naziva infinitezimalnom reda n u odnosu na g(x) ako je različita od 0 i ako je granica konačna:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Primjer 1

Funkcija $y=x^3$ je infinitezimalna višeg reda za x>0, u usporedbi s funkcijom y=5x, jer je granica njihovog omjera 0, što se objašnjava činjenicom da je funkcija $y=x ^3$ brže teži nultoj vrijednosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Primjer 2

Funkcije y=x2-4 i y=x2-5x+6 su infinitezimale istog reda za x>2, budući da granica njihovog omjera nije jednaka 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ do 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Svojstva ekvivalentnih infinitezimala

1. Razlika između dvije ekvivalentne infinitezimale je infinitezimal višeg reda u odnosu na svaku od njih.
2. Ako iz zbroja nekoliko infinitezimala različitih redova odbacimo infinitezimale viših redova, tada je preostali dio, koji se naziva glavni dio, ekvivalentan cijelom zbroju.

Iz prvog svojstva slijedi da ekvivalentne infinitezimale mogu postati približno jednake uz proizvoljno malu relativnu pogrešku. Stoga se znak ≈ koristi i za označavanje ekvivalencije infinitezimala i za pisanje približne jednakosti njihovih dovoljno malih vrijednosti.

Prilikom pronalaženja ograničenja vrlo je često potrebno koristiti zamjenu ekvivalentnih funkcija za brzinu i praktičnost izračuna. Tablica ekvivalentnih infinitezimala prikazana je u nastavku (tablica 1).

Ekvivalencija infinitezimala danih u tablici može se dokazati na temelju jednakosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

stol 1

Primjer 3

Dokažimo ekvivalentnost infinitezimalnog ln(1+x) i x.

Dokaz:

1. Nađimo granicu omjera količina
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstvo logaritma:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Znajući da je logaritamska funkcija kontinuirana u svojoj domeni definicije, možemo zamijeniti predznak granice i logaritamske funkcije:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ pravo)\]
4. Budući da je x infinitezimalna veličina, granica teži 0. To znači:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ desno)=\ln e=1\]

(primijenjena druga divna granica)

Kao što je pokazano, zbroj, razlika i umnožak infinitezimalnih funkcija su infinitezimalni, ali isto se ne može reći za partikularne: dijeljenje jedne infinitezimalne funkcije drugom može dati različite rezultate.

Na primjer, ako je a(x) = 2x, p(x) = 3x, tada

Ako je a(x) = x 2, P (l;) = x 3, tada je

Preporučljivo je uvesti pravila za usporedbu infinitezimalnih funkcija koristeći odgovarajuću terminologiju.

Neka u x -» A funkcije a(x) i p(.v) su infinitezimalne. Zatim se razlikuju sljedeće opcije za njihovu usporedbu, ovisno o vrijednosti S ograničiti u točki A njihov odnos:

• 1. Ako S= I, tada su a(x) i P(x) ekvivalentne infinitezimale: a(x) - p(x).
• 2. Ako S= 0, tada je a(x) infinitezimal višeg reda od p(x) (ili ima viši red malenosti).
• 3. Ako S = d* 0 (d- broj), zatim Oh) i P(x) su infinitezimali istog reda.

Često nije dovoljno znati da je jedan infinitezimal u odnosu na drugi infinitezimal višeg reda malenosti; potrebno je procijeniti i veličinu tog reda. Stoga se koristi sljedeće pravilo.

4. Ako Mm - - =d*0, tada je a(x) infinitezimal l-tog reda u odnosu na - *->lp"(*)

doslovno P(x). U tom slučaju koristite simbol o "o" mali"): a(x) = o(P(x)).

Imajte na umu da slična pravila za usporedbu infinitezimalnih funkcija za x -»oo vrijede, x-" -oo, x-> +«>, kao iu slučaju jednostranih granica na x -» A lijevo i desno.

Jedno važno svojstvo proizlazi iz pravila usporedbe:

tada postoji limit lim 1, a obje ove granice su jednake.

U nizu slučajeva dokazana izjava pojednostavljuje izračun ograničenja i provođenje procjena.

Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Sin funkcije x I x na x-» 0 su zbog granice (8.11) ekvivalentne infinitezimalnim, t j . na x -> 0 grijehu x ~ X.

Doista, imamo:

• 2. Sin funkcije kh i grijeh x su na q: -> 0 infinitezimali istog reda, jer
• 3. Funkcija a(x) = cos ah - cos bx (a * b) je na x-» 0 infinitezimal drugog reda malenosti u odnosu na infinitezimal.v, budući da

Primjer 7. Nađi lim

*-+° x + x"

Riješenje. Od grijeha kh ~ kh I x + x 2 ~ X:

Usporedba beskonačno velikih funkcija

Za beskonačno velike funkcije također vrijede slična pravila usporedbe, s tom razlikom što se za njih umjesto pojma “red malenosti” koristi izraz “red rasta”.

Pojasnimo rečeno na primjerima.

1. Funkcije f(x) = (2 + x)/x i g(x) = 2/x na x-» 0 su ekvivalentne beskonačno velikim, budući da

Podaci o funkciji /(X) i #(*) imaju isti redoslijed rasta.

2. Usporedimo redove rasta funkcija f(x) = 2x?+ja i g(x)= x 3 + x na x-> zašto pronaći granicu njihovog omjera:

Slijedi da funkcija g(x) ima viši red rasta od funkcije / (x).

3. Beskonačno velike funkcije za x -» °o /(x) = 3x 3 + x i #(x) = x 3 - 4x 2 imaju isti red rasta, jer

4. Funkcija /(x) = x 3 + 2x + 3 beskonačno je velika za x -»

trećeg reda u odnosu na beskonačno veliku funkciju g(x) = x - I, jer

Neka a(x) I b(x) – b.m. funkcije na x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0 , …). Razmotrimo granicu njihovog omjera pri x® a.

1. Ako je = b I b– konačni broj, b¹ 0, zatim funkcije a(x), b(x) nazivaju se infinitezimalnim jedan red malenkosti na x® a.

2. Ako je = 0, tada a(x) nazivamo infinitezimalnim višeg reda , kako b(x) na x® a. Očito, u ovom slučaju = ¥.

3. Ako a(x) – b.m. višeg reda od b(x), i = b¹ 0 ( b– konačni broj, kÎ N ), To a(x) nazivamo infinitezimalnim k-th red, u usporedbi s b(x) na x® a.

4. Ako ne postoji (ni konačan ni beskonačan), onda a(x), b(x) se zovu neusporediv b.m. na x® a.

5. Ako je = 1, tada a(x), b(x) se zovu ekvivalent b.m. na x® a, koji se označava na sljedeći način: a(x) ~ b(x) na x® a.

Primjer 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Očito je da kada x® 1 funkcije a(x), b(x) su b.m. Da bismo ih usporedili, pronađimo granicu njihova omjera na x® 1:

Zaključak: a(x b(x) na x® 1.

Lako je provjeriti da je = (uvjerite se!), odakle slijedi da a(x) – b.m. 3. red malenkosti, u usporedbi s b(x) na x® 1.

Primjer 2. Funkcije a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = grijeh x, a 4 (x) = tg x su infinitezimalni na x® 0. Usporedimo ih:

0, , = 1, = ¥.

Odavde zaključujemo da a 2 (x) = x 2 – b.m. višeg reda, u usporedbi s a 1 (x) I a 3 (x) (na x® 0), a 1 (x) I a 3 (x) – b.m. isti redoslijed a 3 (x) I a 4 (x) – ekvivalent b.m., tj. grijeh x~tg x na x® 0.

Teorem 1. Neka a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) na x® a. Ako postoji, tada oba i = postoje.

Dokaz. = 1, = 1,

= = .

Ovaj teorem olakšava pronalaženje granica.

Primjer 3.

Pronaći .

Zbog prve značajne granice sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x na x® 0, dakle

Teorem 2. Infinitezimalne funkcije a(x) I b(x) su ekvivalentni (sa x® a) ako i samo ako a(x) – b(x) je b.m. višeg reda u odnosu na a(x) I b(x) (na x® a).

Dokaz

Neka a(x) ~ b(x) na x® a. Zatim = = 0, tj. razlika a(x) – b(x a(x) u at x® a(slično b(x)).

Neka a(x) – b(x) – b.m. višeg reda, u usporedbi s a(x) I b(x), pokazat ćemo to a(x) ~ b(x) na x® a:

= = + = 1,

Povratak