club de clasa a 5-a
Sefii Dmitri Vladimirovici Trushchin si Mihail Vladimirovici Sheblaev
Anul universitar 2012/2013
Combinatorică (17 noiembrie 2012)
Magazinul vinde cinci tipuri de cești și trei tipuri de farfurioare. În câte moduri vă puteți alege ceașca și farfuria? Câte numere din patru cifre sunt care conţin a) numai cifre pare; b) cel puțin o cifră pară?Soluţie.
a) Să punem mai întâi turnul negru. Acest lucru se poate face în 8 · 8 = 64 de moduri. Pentru a preveni turnul alb să-l bată, trebuie să o plasați într-un alt rang și fișier, adică vor fi 8 - 1 = 7 ranguri libere pentru ea și 8 - 1 = 7 verticale, adică puteți pune un turn alb cu unul negru deja plasat 7 · 7 = 49 de moduri. Deoarece pentru fiecare dintre cele 64 de moduri de a plasa o turnă neagră vor exista 49 de moduri de a plasa o turnă albă, atunci numărul total de moduri de a plasa ambele va fi 64 · 49 = 3136.
b) Să punem pe primul loc regele negru. Câte moduri vor mai fi apoi pentru a se alb? Să ne uităm la diferite cazuri:
Dacă regele negru se află în colțul tablei, atunci regele alb nu poate fi așezat pe 4 celule, adică poate fi plasat pe una din 8 8 - 4 = 60 de celule. Pe tablă sunt 4 colțuri, adică astfel de cazuri când regele negru este în colț și cel alb nu îl lovește, 4 60 = 240.
În multe probleme combinatorii, găsirea directă a numărului de opțiuni care ne interesează se dovedește a fi dificilă. Cu toate acestea, cu unele schimbări în condițiile problemei, puteți găsi o serie de opțiuni care depășesc originalul de un număr cunoscut de ori. Această tehnică se numește metoda de numărare multiplă.
1. Câte anagrame are cuvântul CLASĂ?
Dificultatea este că în acest cuvânt există două litere identice C. Le vom considera temporar diferite și vom desemna C 1 și C 2. Atunci numărul de anagrame va fi egal cu 5! = 120. Dar acele cuvinte care diferă între ele doar prin rearanjarea literelor C 1 și C 2 sunt de fapt aceeași anagramă! Prin urmare, 120 de anagrame sunt împărțite în perechi de unele identice, adică. numărul necesar de anagrame este 120/2 = 60.
2. Câte anagrame are cuvântul CHARADA?
Numărând trei litere A ca litere diferite A 1, A 2, A 3, obținem 6! anagrame Dar cuvintele care sunt făcute unul din celălalt doar prin rearanjarea literelor A 1, A 2, A 3 sunt de fapt aceeași anagramă. Pentru ca sunt 3! permutări ale literelor A 1, A 2, A 3, obținut inițial 6! Anagramele sunt împărțite în grupe de câte 3! identice, iar numărul de anagrame diferite se dovedește a fi 6!/3! = 120.
3. Câte numere din patru cifre sunt care conțin cel puțin o cifră pară?
Să găsim numărul de numere din patru cifre „inutile”, ale căror intrări conțin doar cifre impare. Există 5 4 = 625 de astfel de numere, dar există 9000 de numere din patru cifre, deci numărul necesar de numere „necesare” este 9000 – 625 = 8375.
- Găsiți numărul de anagrame pentru cuvintele VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
- Găsiți numărul de anagrame pentru cuvintele BAOBAB, BALADĂ, TURNARE, ANAGRAMĂ, MATEMATICĂ, COMBINATORICĂ, APĂRARE.
- În câte moduri puteți găzdui 7 vizitatori în trei camere de hotel: single, duble și cvadruple?
- În frigider sunt două mere, trei pere și patru portocale. În fiecare zi, timp de nouă zile la rând, Petya primește o bucată de fruct. În câte moduri se poate face acest lucru?
- Dintre cei mai buni șapte schiori ai școlii, o echipă de trei trebuie să fie selectată pentru a participa la competițiile din oraș. În câte moduri se poate face acest lucru?
- Înainte de examen, profesorul a promis că va acorda note proaste la jumătate dintre examinați. 20 de elevi au venit la examen. În câte moduri își poate îndeplini promisiunea?
- Câte cuvinte se pot forma din cinci litere A și nu mai mult de trei litere B?
- Sunt disponibile înghețată de ciocolată, căpșuni și lapte. În câte moduri poți cumpăra trei înghețate?
- La prepararea pizza, la brânză se adaugă diverse componente pentru a oferi un gust deosebit. Bill are la dispoziție ceapă, ciuperci, roșii, ardei și hamsii, toate care, după părerea lui, pot fi adăugate în brânză. Câte tipuri de pizza poate face Bill?
- Un martor al confruntării criminale și-a amintit că infractorii au fugit într-un Mercedes, a cărui plăcuță de înmatriculare conținea literele T, Z, U și numerele 3 și 7 (un număr este o linie care conține mai întâi trei litere și apoi trei cifre) . Câte astfel de numere există?
- Câte diagonale sunt într-un convex n-pătrat?
- Câte lucruri sunt? n-numerele digitale?
- Câte numere din zece cifre sunt care au cel puțin două cifre identice?
- Zarurile sunt aruncate de trei ori. Printre toate secvențele posibile de rezultate, există acelea în care un șase este aruncat cel puțin o dată. Câți sunt?
- Câte numere din cinci cifre au cifra 1 în notație?
- În câte moduri pot fi așezați regii alb și negru pe o tablă de șah fără ca ei să se lovească unul de celălalt?
- Câți divizori are numărul 10800?
1. Câte numere diferite din patru cifre există care folosesc doar cifre pare?
Soluţie:
1) prima cifră poate fi orice cifră pară, cu excepția zero (în caz contrar, numărul nu va avea patru cifre) - acestea sunt 2, 4, 6 sau 8, 4 opțiuni în total
Opțiuni |
2) să presupunem că prima cifră este selectată; Indiferent de asta, locul doi poate fi oricare dintre numerele pare - 0, 2, 4, 6 sau 8, un total de 5 opțiuni:
Opțiuni |
3) în mod similar, constatăm că ultimele două cifre pot fi selectate în 5 moduri fiecare, independent una de cealaltă și de celelalte cifre (prima și a doua):
Opțiuni |
4) numărul total de combinații este egal cu produsul
4·5·5·5 = 500
5) prin urmare, răspunsul corect este 3.
2. Câte numere din patru cifre sunt în care toate cifrele sunt diferite?
Soluţie:
1) prima cifră poate fi orice număr, cu excepția zero (în caz contrar, numărul nu va fi format din patru cifre), 9 opțiuni în total
Opțiuni |
2) să presupunem că prima cifră x selectat; Orice număr poate fi pe locul doi y, cu excepția x, un total de 9 opțiuni (zero poate fi și!):
Opțiuni |
3) a treia cifră z poate fi oricare, cu excepția celor două care sunt deja pe primele două locuri, există 8 opțiuni în total:
Opțiuni |
4) în cele din urmă, a patra cifră poate fi oricare dintre cele 7 rămase (nu este egală x, yŞi z)
Opțiuni |
5) numărul total de combinații este egal cu produsul
9 9 8 7 = 4536
6) prin urmare, răspunsul corect este 2.
3. Câte numere diferite din patru cifre există care au exact două nouă unul lângă celălalt?
Soluţie:
1) sunt posibile trei cazuri: 99··, ·99· și ··99, unde punctul aldine indică un număr diferit de 9
2) pentru fiecare dintre aceste cazuri trebuie să numărați numărul de opțiuni și să adăugați aceste numere
3) în opțiunea 99··, ultimele două cifre pot fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni fiecare):
Opțiuni |
deci în total obținem 1 1 9 9 = 81 de opțiuni
4) în opțiunea ·99· prima cifră nu poate fi zero și nouă (răman 8 opțiuni), iar ultima cifră poate fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni):
Opțiuni |
deci în total obținem 8 1 1 9 = 72 de opțiuni
5) în opțiunea ··99, prima cifră nu poate fi zero și nouă (răman 8 opțiuni), iar ultima cifră poate fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni):
Opțiuni |
deci în total obținem 8 9 1 1 = 72 de opțiuni
6) numărul total de opțiuni este egal cu suma
81 + 72 + 72 = 225
4. Câte numere diferite din patru cifre există care nu au mai mult de două cifre diferite?
Soluţie:
1) să notăm prima cifră cu x, nu poate fi zero, deci există 9 opțiuni posibile
Opțiuni |
2) notăm un alt număr prin y, poate fi ales și în 9 moduri (poate fi zero, dar nu poate fi egal x)
3) trei cazuri trebuie luate în considerare separat: xy··, xxxy· Și xxx·; pentru fiecare dintre aceste cazuri trebuie să numărați numărul de opțiuni și să adăugați aceste numere
4) în opțiune xy·· ultimele două cifre pot fi alese (independent una de cealaltă) să fie egale x sau y(2 variante fiecare):
x sau y | x sau y |
|||
Opțiuni |
deci în total obținem 9 9 2 2 = 324 de opțiuni
5) în opțiune xxxy· ultima cifră poate fi doar egală cu x sau y(2 variante):
x sau y |
||||
Opțiuni |
deci în total obținem 9 1 9 2 = 162 de opțiuni
6) în opțiune xxx· ultima cifră poate fi orice (10 opțiuni):
x sau y |
||||
Opțiuni |
deci în total obținem 9 1 1 10 = 90 de opțiuni
7) numărul total de opțiuni este egal cu suma
324 + 162 + 90 = 576
8) astfel, răspunsul corect este 3.
5. Câte numere diferite din patru cifre există în care toate cifrele sunt impare și cel puțin una dintre ele este egală cu 5?
Soluție (opțiunea 1):
1) luați în considerare patru opțiuni: 5···, ·5··, ··5· și ···5; pentru fiecare dintre aceste cazuri trebuie să calculați numărul unic opțiuni (excluzând toate cele comune!) și adăugați aceste numere
2) în cazul lui 5···, ultimele trei cifre pot fi orice impare (fiecare 5 opțiuni independente):
Opțiuni |
deci în total obținem 1 5 5 5 = 125 de opțiuni
3) la prima vedere, pentru cazul ·5·· situația este aceeași, dar nu este cazul; fapt este că unele dintre aceste opțiuni (cu 5 pe primul loc) au fost deja incluse în prima grupă 5···, deci nu este nevoie să le luăm în considerare a doua oară; aceasta înseamnă că primul loc poate fi unul din 4 cifre - 1, 3, 7 sau 9:
Opțiuni |
în total obținem 4 1 5 5 = 100 de opțiuni
4) având în vedere cazul ··5·, trebuie să aruncați toate opțiunile în care cincisele sunt pe primele două locuri
Opțiuni |
în total obținem 4 4 1 5 = 80 de opțiuni
5) pentru ··5· obținem în mod similar
Opțiuni |
în total obținem 4 4 4 1 = 64 de opțiuni
6) numărul total de opțiuni
125 + 100 + 80 + 64 = 369 de opțiuni
7) prin urmare, răspunsul corect este 2.
Soluție (opțiunea 2):
1) toate numerele formate numai din cifre impare pot fi împărțite în două grupuri: cele care conțin un cinci și cele care nu
2) găsim numărul total de numere format numai din cifre impare similar primei probleme luate în considerare; ținând cont că între ele nu există zero, obținem
5 5 5 5 = 625 opțiuni
3) acum, în mod similar, vom găsi numărul de numere format numai din numerele 1, 3, 7 și 9 (fără cele cinci); deoarece fiecare dintre cele 4 locuri poate conține una dintre cele 4 cifre, obținem
4·4·4·4 = 256 opțiuni
4) rezultatul de care avem nevoie este diferența
625 – 256 = 369 opțiuni
5) prin urmare, răspunsul corect este 2.
Sarcini pentru soluție independentă:
1) Câte numere din patru cifre sunt care au exact două opt care nu sunt adiacente?
2) Câte numere din patru cifre sunt făcute din cifre pare diferite?
3) Câte numere din patru cifre sunt care au cel puțin o cifră pară?
4) Câte numere din patru cifre sunt divizibile cu 5?
5) Câte numere din patru cifre sunt, care nu depășesc 3000, în care există exact două cifre „3”?
6) La campionatul de șah au participat 40 de sportivi. Fiecare a jucat un joc unul cu celălalt. Câte jocuri s-au jucat în total?
7) Într-o vază sunt un măr, o peră, o piersică și o caisă. Katya avea voie să aleagă două fructe. Câte opțiuni are Katya?
9) Câte numere din patru cifre sunt citite la fel „de la stânga la dreapta” și „de la dreapta la stânga”?
10) Un lanț de trei margele se formează după următoarea regulă: Pe primul loc în lanț este unul dintre margele A, B, C. Pe locul doi este unul dintre margele B, C, D. Pe locul trei este unul dintre margele. una dintre margele A, B, D, nu pe primul sau al doilea loc în lanț. Câte astfel de lanțuri există în total?
Problema 4. Câte numere pare din două cifre cu cifre diferite există?
Soluţie. Fie α = α1 α2 un număr par de două cifre în care toate cifrele sunt diferite. Apoi α2 (0,2,4,6,8) și α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(α 2 }.
Dacă α1 este o cifră impară, adică α1 (1, 3, 5, 7, 9), aflăm că prima cifră a lui α1 poate fi aleasă în 5 moduri.
De fiecare dată când este selectată prima cifră α1, a doua cifră α2 poate fi selectată în 5 moduri.
Folosind regula produsului, aflăm că există 5 5 = 25 de numere pare din două cifre a căror prima cifră este impară.
Dacă α1 este o cifră pară, atunci α1 (2, 4, 6, 8) și α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1), i.e. elementul α2 poate fi selectat în 4 moduri.
Conform regulii produsului, numărul α poate fi ales în 4 4 = 16 moduri.
Problema 5. Câte numere din patru cifre sunt? divizibil cu 5, ale căror cifre sunt diferite?
Soluţie. Fie A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) un set de cifre, α= α1 α2 α3 α4 un număr din patru cifre, unde α1 A\(0) ,
α4 (0,5)\(α1),α2 A\(α1 ,α4),α3 A\(α1 ,α2 ,α4 ).
Dacă α4 =0, atunci α1 poate fi ales în 9 moduri, α2 poate fi ales în 8 moduri și α3 poate fi ales în 7 moduri. Folosind regula produsului, aflăm că numărul
α poate fi obținut în 9 8 7 = 504 moduri. Dacă α 4 =5, apoi α1 A\(0, 5 ), adică. cifra α1 poate fi
aleasă în 8 moduri, cifra α2 poate fi aleasă și în 8 moduri, iar α3 în 7 moduri. Conform regulii produsului
constatăm că numărul α poate fi ales în 8 8 7 = 448 moduri.
Astfel, folosind regula sumei, aflăm că există 504 + 448 = 952 numere din patru cifre divizibile cu 5, toate având cifre diferite.
Aceeași problemă poate fi rezolvată în alt mod.
Considerăm un număr par de două cifre α = α1 α2, unde α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) și α 2 (0, 2, 4, 6, 8).
În această problemă trebuie să determinați câte numere din patru cifre există.
Numărul de numere din patru cifre
- Să stabilim câte numere din patru cifre există.
- Un număr format din patru cifre este un număr format din patru cifre: unități, zeci, sute și mii. Cu cuvinte simple Un număr format din patru cifre este un număr format din exact patru cifre.
- Primul număr cunoscut din patru cifre este 1000.
- Ultimul număr cunoscut din patru cifre este 9999.
- Aflați numărul de numere din patru cifre. Există două opțiuni: primele 999 de numere naturale sunt scăzute din ultimul număr de patru cifre (9999). Obținem: 9999 - 999 = 9000.
- A doua metodă: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Adăugăm unul, deoarece o mie este, de asemenea, un număr de patru cifre și, pur și simplu, scăzând, îl pierdem din total.
- De asemenea, puteți determina numărul total de cifre.
Determinați numărul de cifre
A devenit cunoscut faptul că un număr de patru cifre este format din 4 cifre, cu alte cuvinte, 4 cifre. De asemenea, sa estimat că există 9.000 de numere cunoscute din patru cifre. Apoi obținem: 9000 * 4 = 36000.
Răspuns: Sunt 9.000 de numere din patru cifre în total, iar dacă le scrii pe toate la rând, vei obține 36.000 de cifre.