Факторный анализ результаты и выводы графической информации. Как используется факторный анализ

Представляют собой совокупность статистических процедур, направленных на выделение из заданного множества переменных подмножеств переменных, тесно связанных (коррелирующих) между собой. Переменные, входящие в одно подмножество и коррелирующие между собой, но в значительной степени независимые от переменных из других подмножеств, образуют факторы. Цель факторного анализа - идентифицировать явно не наблюдаемые факторы с помощью множества наблюдаемых переменных. Дополнительным способом проверки числа выделенных факторов является вычисление корреляционной матрицы, которая близка исходной, если факторы выделены правильно. Эта матрица называется воспроизведенной корреляционной матрицей. Для того чтобы увидеть, как эта матрица отклоняется от исходной корреляционной матрицы (с которой начинался анализ), можно вычислить разность между ними. Остаточная матрица может указать на "несогласие", т. е. на то, что рассматриваемые коэффициенты корреляции не могут быть получены с достаточной точностью на основе имеющихся факторов. В методах главных компонент и факторного анализа не существует такого внешнего критерия, позволяющего судить о правильности решения. Вторая проблема заключается в том, что после выделения факторов возникает бесконечное множество вариантов вращения, базирующихся на тех же исходных переменных, но дающих разные решения (факторные структуры определяются несколько иным образом). Окончательный выбор между возможными альтернативами внутри бесконечного множества математически равнозначных решений зависит от содержательного осмысления исследователями результатов интерпретации. А поскольку объективного критерия для оценки различных решений нет, предлагаемые обоснования выбора решения могут казаться голословными и неубедительными.

Надо отметить, что четких статистических критериев полноты факторизации не существует. Тем не менее, низкие ее значения, например меньше 0,7, свидетельствуют о желательности сокращения количества признаков или увеличения количества факторов.

Мет Коэффициент взаимосвязи между некоторым признаком и общим фактором, выражающий меру влияния фактора на признак, называется факторной нагрузкой данного признака по данному общему фактору.

Матрица, состоящая из факторных нагрузок и имеющая число столбцов, равное числу общих факторов, и число строк, равное числу исходных признаков, называется факторной матрицей.

Основой для вычисления факторной матрицы является матрица парных коэффициентов корреляции исходных признаков.

Корреляционная матрица фиксирует степень взаимосвязи между каждой парой признаков. Аналогично факторная матрица фиксирует степень линейной связи каждого признака с каждым общим фактором.

Величина факторной нагрузки не превышает по модулю единицы, а знак ее говорит о положительной или отрицательной связи признака с фактором.

Чем больше абсолютная величина факторной нагрузки признака по некоторому фактору, тем в большей степени этот фактор определяет данный признак.

Значение факторной нагрузки по некоторому фактору, близкое к нулю, говорит о том, что этот фактор практически на данный признак не влияет.

Факторная модель дает возможность вычислять вклады факторов в общую дисперсию всех признаков. Суммируя квадраты факторных нагрузок для каждого фактора по всем признакам, получаем его вклад в общую дисперсию системы признаков: чем выше доля этого вклада, тем более значимым, существенным является данный фактор.

При этом можно выявить и оптимальное количество общих факторов, достаточно хорошо описывающих систему исходных признаков.

Значение (мера проявления) фактора у отдельного объекта называется факторным весом объекта по данному фактору. Факторные веса позволяют ранжировать, упорядочить объекты по каждому фактору.

Чем больше факторный вес некоторого объекта, тем больше в нем проявляется та сторона явления или та закономерность, которая отражается данным фактором.

Факторные веса могут быть как положительными, так и отрицательными.

В силу того, что факторы являются стандартизованными величинами со средним значением, равным нулю, факторные веса, близкие к нулю, говорят о средней степени проявления фактора, положительные – о том, что эта степень выше средней, отрицательные – о том. ч то она ниже средней.

Практически, если число уже найденных главных компонент (или факторов) не больше, чем m /2, объясняемая ими дисперсия не менее 70%, а следующая компонента дает вклад в суммарную дисперсию не более 5%, факторная модель считается достаточно хорошей.

Если Вы хотите найти значения факторов и сохранить их в виде дополнительных переменных задействуйте выключатель Scores... (Значения) Факторное значение, как правило, лежит в пределах -3 до +3.

Факторный анализ - более мощный и сложный аппарат, чем метод главных

компонент, поэтому он применяется в том случае, если результаты

компонентного анализа не вполне устраивают. Но поскольку эти два метода

решают одинаковые задачи, необходимо сравнить результаты компонентного и

факторного анализов, т. е. матрицы нагрузок, а также уравнения регрессии на

главные компоненты и общие факторы, прокомментировать сходство и различия

результатов.

Максимально возможное количество факторов m при заданном числе признаков р определяется неравенством

(р+m)<(р-m)2,

В завершение всей процедуры факторного анализа с помощью математических преобразований выражают факторы fj через исходные признаки, то есть получают в явном виде параметры линейной диагностической модели.

Методы главных компонент и факторного анализа представляют собой совокупность статистических процедур, направленных на выделение из заданного множества переменных подмножеств переменных, тесно связанных (коррелирующих) между собой. Переменные, входящие в одно подмножество и коррелирующие между собой, но в значительной степени независимые от переменных из других подмножеств, образуют факторы1 . Цель факторного анализа - идентифицировать явно не наблюдаемые факторы с помощью множества наблюдаемых переменных.

Общее выражение для j -го фактора может быть записано так:

где Fj (j изменяется от 1 до k ) - это общие факторы, Ui - характерный, Aij - константы, используемые в линейной комбинации k факторов. Характерные факторы могут не коррелировать друг с другом и с общими факторами.

Процедуры факторно-аналитической обработки, применяемые к полученным данным, различны, но структура (алгоритм) анализа состоит из одних и тех же основных этапов: 1. Подготовка исходной матрицы данных. 2. Вычисление матрицы взаимосвязей признаков. 3. Факторизация (при этом необходимо указать количество факторов, выделяемых в ходе факторного решения, и метод вычисления). На этом этапе (как и на следующем) можно также оценить, насколько хорошо полученное факторное решение сближает исходные данные. 4. Вращение - преобразование факторов, облегчающее их интерпретацию. 5. Подсчет факторных значений по каждому фактору для каждого наблюдения. 6. Интерпретация данных .

изобретение факторного анализа было связано именно с необходимостью одновременного анализа большого количества коэффициентов корреляции различных шкал между собой. Одна из проблем, связанных с методами главных компонент и факторного анализа заключается в том, что критериев, которые позволяли бы проверить правильность найденного решения, не существует. Например, при регрессионном анализе можно сопоставить показатели по зависимым переменным, полученные эмпирическим путем, с показателями, вычисленными теоретически на основе предлагаемой модели, и использовать корреляцию между ними как критерий правильности решения по схеме корреляционного анализа для двух наборов переменных. В дискриминантном анализе правильность решения базируется на том, насколько точно предсказана принадлежность испытуемых к тем или иным классам (если сравнивать с реальной принадлежностью, имеющей место в жизни). К сожалению, в методах главных компонент и факторного анализа не существует такого внешнего критерия, позволяющего судить о правильности решения, Вторая проблема заключается в том, что после выделения факторов возникает бесконечное множество вариантов вращения, базирующихся на тех же исходных переменных, но дающих разные решения (факторные структуры определяются несколько иным образом). Окончательный выбор между возможными альтернативами внутри бесконечного множества математически равнозначных решений зависит от содержательного осмысления исследователями результатов интерпретации. А поскольку объективного критерия для оценки различных решений нет, предлагаемые обоснования выбора решения могут казаться голословными и неубедительными.

Третья проблема заключается в том, что факторный анализ довольно часто применяют с целью спасти плохо продуманное исследование, когда становится ясно, что ни одна статистическая процедура не дает желаемого результата. Мощь методов главных компонент и факторного анализа позволяет из хаотичной информации выстроить упорядоченную концепцию (что и создает им сомнительную репутацию).

Вторая группа терминов относится к матрицам, которые строятся и интерпретируются как часть решения. Поворот факторов - это процесс поиска наиболее легко интерпретируемого решения для данного количества факторов. Существуют два основных класса поворотов: ортогональный и косоугольный . В первом случае все факторы априорно выбираются ортогональными (не коррелирующими друг с другом) и строится матрица факторных нагрузок , представляющая собой матрицу взаимосвязей между наблюдаемыми переменными и факторами. Величина нагрузок отражает степень связи каждой наблюдаемой переменной и каждым фактором и интерпретируется как коэффициент корреляции между наблюдаемой переменной и фактором (латентной переменной), а потому изменяется в пределах от -1 до 1. Решение, полученное после ортогонального поворота, интерпретируется на основе анализа матрицы факторных нагрузок путем выявления того, с каким из факторов в максимальной степени связана та или иная наблюдаемая переменная. Таким образом, каждый фактор оказывается заданным группой первичных переменных, имеющих по нему наибольшие факторные нагрузки.

Если выполняется косоугольное вращение (т. е. априорно допускается возможность корреляции факторов между собой), то строится еще несколько дополнительных матриц. Матрица факторной корреляции содержит корреляции между факторами. Матрица факторных нагрузок , упомянутая выше, расщепляется на две: структурную матрицу взаимосвязей между факторами и переменными и матрицу факторного отображения , выражающую линейные взаимосвязи между каждой наблюдаемой переменной и каждым фактором (без учета влияния наложения одних факторов на другие, выражаемого корреляцией факторов между собой). После косоугольного вращения интерпретация факторов происходит на основе группировки первичных переменных (подобно тому, как было описано выше), но уже с использованием в первую очередь матрицы факторного отображения.

Наконец, для обоих поворотов вычисляется матрица коэффициентов факторных значений , используемая в специальных уравнениях регрессионного типа для вычисления факторных значений (факторных баллов, показателей по факторам) для каждого наблюдения на основе значений для них первичных переменных.

Сравнивая методы главных компонент и факторного анализа, отметим следующее. В ходе выполнения анализа по методу главных компонент строится модель для наилучшего объяснения (максимального воспроизведения) полной дисперсии экспериментальных данных, полученных по всем переменным. В результате выделяются «компоненты». При факторном анализе предполагается, что каждая переменная объясняется (детерминируется) некоторым количеством гипотетических общих факторов (влияющих на все переменные) и характерными факторами (для каждой переменной своими). И вычислительные процедуры выполняются таким образом, чтобы освободиться как от дисперсии, полученной в результате ошибки измерения, так и от дисперсии, объясняемой специфичными факторами, и анализировать только дисперсии, объясняемые гипотетически существующими общими факторами. В результате получаются объекты, называемые факторами. Однако, как уже упоминалось, с содержательно-психологической точки зрения эта разница в математических моделях существенного значения не имеет, поэтому в дальнейшем, если не дается особых пояснений, о каком именно случае идет речь, мы будем использовать термин «фактор» как по отношению к компонентам, так и по отношению к факторам.

Размеры выборки и пропущенные данные. Чем больше выборка, тем больше достоверность показателей взаимосвязи. Поэтому очень важно иметь достаточно большую выборку. Требуемый размер выборки также зависит от степени взаимосвязи показателей в популяции в целом и количества факторов: при сильной и достоверной взаимосвязи и небольшом количестве четко очерченных факторов будет достаточно и не очень большой выборки.

Так, выборка, размер которой 50 испытуемых, оценивается как очень плохая, 100 - плохая, 200 - средняя, 300 - хорошая, 500 - очень хорошая и 1000 - превосходная (Comrey, Lee , 1992). Исходя из этих соображений, в качестве общего принципа можно порекомендовать исследовать выборки не менее 300 испытуемых. Для решения, базирующегося на достаточном количестве маркерных переменных с высокими факторными нагрузками (>0.80) достаточно выборки порядка 150 испытуемых (Guadagnoli, Velicer , 1988). нормальность для каждой переменной в отдельности проверяется по асимметрии (насколько кривая изучаемого распределения сдвинута вправо или влево по сравнению с теоретически нормальной кривой) и эксцессу (степень вытянутости вверх или прогнутости вниз «колокола» имеющегося распределения, визуально представленного в частотной диаграмме, в сравнении с «колоколом» графика плотности, характерным для нормального распределения). Если переменная имеет существенные асимметрию и эксцесс, то ее можно преобразовать, введя новую переменную (как однозначную функцию от рассматриваемой) таким образом, чтобы эта новая переменная была распределена нормально (подробнее об этом см.: Tabachnik, Fidell , 1996, гл. 4).

Собственные векторы и соответствующие собственные числа
для рассматриваемого учебного примера

Собственный вектор 1	Собственный вектор 2
Собственное значение 1	Собственное значение 2

Поскольку корреляционная матрица диагонализируема, то для получения результатов факторного анализа к ней можно применять матричную алгебру собственных векторов и собственных величин (см. Приложение 1). Если матрица диагонализируема, то вся существенная информация о факторной структуре содержится в ее диагональной форме. В факторном анализе собственные числа соответствуют дисперсии, объясняемой факторами. Фактор с наибольшей собственной величиной объясняет наибольшую дисперсию и т. д., пока не доходит до факторов с небольшими или отрицательными собственными величинами, которые обычно не учитываются при анализе. Матрица факторных нагрузок является матрицей взаимосвязей (интерпретируемых как коэффициенты корреляций) между факторами и переменными. Первый столбец - это корреляции между первым фактором и каждой переменной по очереди: стоимость путевки (-.400), комфортабельность комплекса (.251), температура воздуха (.932), температура воды (.956). Второй столбец - это корреляции между вторым фактором и каждой переменной: стоимость путевки (.900), комфортабельность комплекса (-.947), температура воздуха (.348), температура воды (.286). Фактор интерпретируется на основе сильно связанных с ним (т. е. имеющих по нему высокие нагрузки) переменных. Так, первый фактор главным образом «климатический» (температура воздуха и воды ), в то время как второй «экономический» (стоимость путевки и комфортабельность комплекса ).

Интерпретируя эти факторы, следует обратить внимание на то, что переменные, имеющие высокие нагрузки по первому фактору (температура воздуха и температура воды ), взаимосвязаны положительно, тогда как переменные, имеющие высокие нагрузки по второму фактору (стоимость путевки и комфортабельность комплекса ), взаимосвязаны отрицательно (от дешевого курорта нельзя ожидать большой комфортабельности). Первый фактор называется униполярным (все переменные сгруппированы на одном полюсе), а второй - биполярным (переменные распались на две противоположные по смыслу группы - два полюса). Переменные, имеющие факторные нагрузки со знаком «плюс», образуют положительный полюс, а со знаком «минус» - отрицательный. При этом названия полюсов «положительный» и «отрицательный» при интерпретации фактора не имеют оценочного смысла «плохой» и «хороший». Выбор знака происходит во время вычислений случайным образом. Ортогональное вращение

Вращение обычно применяется после выделения факторов для максимизации высоких корреляций и минимизации низких. Существуют многочисленные методы вращения, но чаще всего используется поворот варимакс , представляющий собой процедуру максимизации дисперсий. Этот поворот максимизирует дисперсии факторных нагрузок, делая высокие нагрузки выше, а низкие ниже для каждого из факторов. Эта цель достигается с помощью матрицы преобразования Λ:

Матрица преобразования - это матрица синусов и косинусов угла Ψ, на который выполняется поворот. (Отсюда и название преобразования - поворот , потому что с геометрической точки зрения происходит поворот осей вокруг начала координат факторного пространства.) Выполнив поворот и получив матрицу факторных нагрузок после поворота, можно проанализировать серию других показателей (см. табл. 4). Общность переменной - это дисперсия, рассчитанная с помощью факторных нагрузок. Это квадратичная множественная корреляция переменной, предсказанная факторной моделью. Общность вычисляется как сумма квадратов факторных нагрузок (СКН) для переменной по всем факторам. В табл. 4 общность для стоимости путевки равна (-.086)2+(.981)2 = .970, т. е. 97% дисперсии стоимости путевки объясняется факторами 1 и 2.

Доля дисперсии фактора по всем переменным - это СКН по фактору, деленная на количество переменных (в случае ортогонального вращения)7 . Для первого фактора доля дисперсии равна:

[(-.086)2+(-.071)2+(.994)2+(.997)2]/4 = 1.994/4 = .50,

т. е. первый фактор объясняет 50% дисперсии переменных. Второй фактор объясняет 48% дисперсии переменных и (в силу ортогональности вращения) два фактора в сумме объясняют 98% дисперсии переменных.

Связь между факторными нагрузками, общностями, СКН,
дисперсией и ковариацией ортогональных факторов после поворота

			Общности (h2 )
Стоимость путевки			∑a2 =.970
Уровень комфорта			∑a2 =.960
Температура воздуха			∑a2 =.989
Температура воды			∑a2 =.996
	∑a2 =1.994	∑a2 =1.919
Доля дисперсии
Доля ковариации

Доля дисперсии решения, объясняемая фактором, - доля ковариации - это СКН для фактора, деленная на сумму общностей (сумму СКН по переменным). Первый фактор объясняет 51% дисперсии решения (1.994/3.915); второй - 49% (1.919/3.915); два фактора вместе объясняют всю ковариацию.

Eigenval – отражают величину дисперсии соответствующего количества факторов. В качестве упражнения рекомендуем выписать все эти формулы для получения расчетных значений по переменным. Например, для первого респондента:

1.23 = -.086(1.12) + .981(-1.16)

1.05 = -.072(1.12) - .978(-1.16)

1.08 = .994(1.12) + .027(-1.16)

1.16 = .997(1.12) - .040(-1.16)

Или в алгебраической форме:

Z стоимости путевки = a 11F 1 + a 12F 2

Z комфортабельности комплекса = a 2lF 1 + a 22F 2

Z температуры воздуха = a 31F 1 + a 32F 2

Z температуры воды = a 41F 1 + a 42F 2

Чем больше нагрузка, тем с большей уверенностью можно считать, что переменная определяет фактор. Комри и Ли (Comrey, Lee , 1992) предполагают, что нагрузки, превышающие 0.71 (объясняет 50% дисперсии), - превосходные, 0% дисперсии) - очень хорошие, 0%) - хорошие, 0%) - удовлетворительные и 0.32 (объясняет 10% дисперсии) - слабые.

Предположим, что вы проводите (до некоторой степени "глупое") исследование, в котором измеряете рост ста людей в дюймах и сантиметрах. Таким образом, у вас имеются две переменные. Если далее вы захотите исследовать, например, влияние различных пищевых добавок на рост, будете ли вы продолжать использовать обе переменные? Вероятно, нет, т. к. рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется.

Зависимость между переменными можно обнаружить с помощью диаграммы рассеяния . Полученная путем подгонки линия регрессии дает графическое представление зависимости. Если определить новую переменную на основе линии регрессии, изображенной на этой диаграмме, то такая переменная будет включить в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, фактически, вы сократили число переменных и заменили две одной. Отметим, что новый фактор (переменная) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных.

Функционирование любой социально-экономической системы (к которым относится и действующее предприятие) происходит в условиях сложного взаимодействия комплекса внутренних и внешних факторов. Фактор - это причина, движущая сила какого-либо процесса или явления, определяющая его характер или одну из основных черт.

Под факторным анализом понимается методика комплексного и системного изучения и измерения воздействия факторов на величину результативных показателей.

В общем случае можно выделить следующие основные этапы(задачи) факторного анализа:

Постановка цели анализа.

Отбор факторов, определяющих исследуемые результативные показатели.

Классификация и систематизация факторов с целью обеспечения комплексного и системного подхода к исследованию их влияния на результаты хозяйственной деятельности.

Определение формы зависимости между факторами и результативным показателем.

Моделирование взаимосвязей между результативным и факторными показателями.

Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.

Работа с факторной моделью (практическое ее использование для управления экономическими процессами).

Иначе говоря, задача метода - переход от реального большого числа признаков или причин определяющих наблюдаемую изменчивость к небольшому числу наиболее важных переменных (факторов) с минимальной потерей информации (близкие по сути, но не по математическому аппарату методы - компонентный анализ, канонический анализ и др.).

Метод возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии и антропологии (рубеж 19 и 20 вв.), но сейчас область его приложения значительно шире.

Назначение факторного анализа

Факторный анализ - определение влияния факторов на результат - является одним из сильнейших методических решений в анализе хозяйственной деятельности компаний для принятия решений. Для руководителей - дополнительный аргумент, дополнительный "угол зрения".

Целесообразность применения факторного анализа

Как известно, анализировать можно все и до бесконечности. Целесообразно на первом этапе реализовать анализ по отклонениям, а там где это необходимо и оправдано - применить факторный метод анализа. Во многих случаях простого анализа по отклонениям достаточно, чтобы понять, что отклонение «критическое», и когда совсем не обязательно знать степень его влияния.

Факторы делятся на внутренние и внешние , в зависимости от того, влияет на них деятельность данного предприятия или нет. При анализе основное внимание уделяется внутренним факторам, на которые предприятие может воздействовать.

Факторы подразделяются на объективные, не зависящие от воли и желаний людей, и субъективные, подверженные влиянию деятельности юридических и физических лиц.

По степени распространенности факторы делятся на общие и специфические. Общие факторы действуют во всех отраслях экономики. Специфические факторы действуют в пределах отдельной отрасли или конкретного предприятия.

Виды факторного анализа

Существуют следующие типы факторного анализа:

1) Детерминированный (функциональный) – результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

2) Стохастический (корреляционный) – связь между результативным и факторными показателями является неполной или вероятностной.

3) Прямой (дедуктивный) – от общего к частному.

4) Обратный (индуктивный) – от частного к общему.

5) Одноступенчатый и многоступенчатый.

6) Статический и динамический.

7) Ретроспективный и перспективный.

В зависимости от типа факторной модели различают два основных вида факторного анализа - детерминированный и стохастический.

Детерминированный факторный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т. е. когда результативный показатель факторной модели представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

Данный вид факторного анализа наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простым в применении (по сравнению со стохастическим анализом), позволяет осознать логику действия основных факторов развития предприятия, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.

Детерминированный факторный анализ имеет достаточно жесткую последовательность выполняемых процедур:

1.построение экономически обоснованной детерминированной факторной модели;

2.выбор приема факторного анализа и подготовка условий для его выполнения;

3.реализация счетных процедур анализа модели;

Основные методы детерминированного факторного анализа

Метод цепных подстановок; Метод абсолютных разниц; Метод относительных разниц; Интегральный метод; Метод логарифмирования.

Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Суть стохастического метода - измерение влияния стохастических зависимостей с неопределенными и приблизительными факторами. Стохастический метод целесообразно применять для экономических исследований с неполной (вероятностной) корреляцией: например, для задач маркетинга. Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель. Например, производительность труда при одном и том же уровне фондовооруженности может быть неодинаковой на разных предприятиях. Это зависит от оптимальности сочетания других факторов, воздействующих на этот показатель.

Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам :

Необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);

Необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;

Необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

Необходимо также различать статический и динамический факторный анализ. Первый вид применяется при изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.

И, наконец, факторный анализ может быть ретроспективным, который изучает причины прироста результативных показателей за прошлые периоды, и перспективным, который исследует поведение факторов и результативных показателей в перспективе.

Факторный анализ может быть одноступенчатым и многоступенчатым . Первый тип используется для исследования факторов только одного уровня (одной ступени) подчинения без их детализации на составные части. Например, . При многоступенчатом факторном анализе проводится детализация факторов a и b на составные элементы с целью изучения их поведения. Детализация факторов может быть продолжена и дальше. В этом случае изучается влияние факторов различных уровней соподчиненности.

Необходимо также различать статический и динамический факторный анализ . Первый вид применяется при изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.

Введение в факторный анализ

В течение последних лет факторный анализ нашел свое применение среди широкого круга исследователей в основном благодаря развитию высокоскоростных компьютеров и пакетов статистических программ (например, DATATEXT, BMD, OSIRIS, SAS и SPSS). Это также коснулось большой группы пользователей, не имеющих соответствующей математической подготовки, но, тем не менее, заинтересованных в использовании потенциальных возможностей факторного анализа в своих исследованиях (Harman, 1976; Horst, 1965; Lawley и Maxswel, 1971; Mulaik, 1972).

Факторный анализ предполагает, что изучаемые переменные представляют собой линейную комбинацию некоторых скрытых (латентных) ненаблюдаемых факторов. Иными словами, существует система факторов и система изучаемых переменных. Определенная зависимость между этими двумя системами позволяет посредством факторного анализа с учетом имеющейся зависимости получать выводы по изучаемым переменным (факторам). Логическая сущность этой зависимости состоит в том, что каузальная система факторов (система независимых и зависимых переменных) всегда имеет уникальную корреляционную систему изучаемых переменных, а не наоборот. Только при жестко ограниченных условиях, налагаемых на факторный анализ, возможна недвусмысленная интерпретация каузальных структур по факторам на наличие корреляции между изучаемыми переменными. Кроме этого, существуют проблемы и другой природы. Например, при сборе эмпирических данных возможно допущение разного рода ошибок и неточностей, что в свою очередь затрудняет работу по выделению скрытых ненаблюдаемых параметров и их дальнейшего исследования.

Что же такое факторный анализ? Факторный анализ относится к множеству статистических техник, основная задача которых состоит в представлении множества изучаемых признаков в виде сокращенной системы гипотетических переменных. Факторный анализ - исследовательский эмпирический метод, который преимущественно находит свое применение в социальных и психологических дисциплинах.

В качестве примера использования факторного анализа можно рассмотреть изучение свойств личности с помощью психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению, о них можно судить только на основании поведения человека, ответов на те или иные вопросы и т.д. Для объяснения собранных эмпирических данных их результаты подвергаются факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывали влияние на поведение испытуемых в проведенных опытах.

Первым этапом факторного анализа, как правило, является выбор новых признаков, которые являются линейными комбинациями прежних и «вбирают» в себя большую часть общей изменчивости наблюдаемых данных, а поэтому передают большую часть информации, заключенной в первоначальных наблюдениях. Обычно это осуществляют с помощью метода главных компонент, хотя иногда используют и другие приемы (например, метод главных факторов, метод максимального правдоподобия).

Метод главных компонент– статистический прием, позволяющий преобразовывать исходные переменные в их линейную комбинацию (GeorgH.Dunteman). Цель метода – получить сокращенную систему исходных данных, которая намного проще для понимания и дальнейшей статистической обработки. Этот подход был предложен Пирсоном (1901) и независимо от него получил свое дальнейшее развитие у Хотеллинга (1933). Автор пытался минимизировать использование матричной алгебры при работе с данным методом.

Основная цель метода главных компонент – выделение первичных факторов и определение минимального числа общих факторов, которые удовлетворительно воспроизводят корреляции между изучаемыми переменными. Результат данного шага – матрица коэффициентов факторных нагрузок, представляющих собой в ортогональном случае коэффициенты корреляции между переменными и факторами. При определении числа выделяемых факторов используется следующий критерий: выделяются только факторы с собственными значениями больше указанной константы (как правило, единицы).

Однако обычно факторы, полученные методом главных компонент, не поддаются достаточно наглядной интерпретации. Поэтому следующим шагом факторного анализа является преобразование (вращение) факторов таким образом, чтобы облегчить их интерпретацию. Вращение факторов состоит в нахождении наиболее простой факторной структуры, то есть такого варианта оценки факторных нагрузок и остаточных дисперсий, который и дает возможность содержательно интерпретировать общие факторы и нагрузки.

Наиболее часто исследователями в качестве метода вращения используется метод варимакс. Это метод, позволяющий, с одной стороны, за счет минимизации разброса квадратов нагрузок для каждого фактора, получить упрощенную факторную структуру за счет увеличения больших и уменьшения малых факторных нагрузок, с другой стороны.

Итак, основные цели факторного анализа:

сокращение числа переменных (редукция данных);

определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных .

Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных или как метод классификации.

Практические примеры и советы по применению факторного анализа можно, найти в книге Стивенса (Stevens, 1986); более подробное описание приводят Кули и Лонес (Cooley, Lohnes, 1971); Харман (Harman, 1976); Ким и Мюллер (Kim, Mueller, 1978a, 1978b); Лоули и Максвелл (Lawley, Maxwell, 1971); Линдеман, Меренда и Голд (Lindeman, Merenda, Gold, 1980); Моррисон (Morrison, 1967) и Мулэйк (Mulaik, 1972). Интерпретация вторичных факторов в иерархическом факторном анализе, как альтернатива традиционному вращению факторов, дана Верри (Wherry, 1984).

Вопросы подготовки данных для применения

факторного анализа

Рассмотрим ряд вопросов и кратких ответов в рамках использования факторного анализа.

Какой уровень измерений требует факторный анализ или, иными словами, в каких шкалах измерений должны представляться данные для факторного анализа?

Факторный анализ требует, чтобы переменные были представлены в интервальной шкале (Stevens, 1946) и отвечали нормальному распределению. Это требование предполагает также, что в качестве входных данных используются ковариационные или корреляционные матрицы.

Должен ли исследователь избегать использования факторного анализа, когда метрическая основа переменных определена неточно, т.е. данные представлены в порядковой шкале?

Нет необходимости. Многие переменные, представляющие, например, измерения мнений испытуемых по большому количеству тестов, не имеют точно установленной метрической базы. Однако, в общем, предполагается, что многие «порядковые переменные» могут содержать числовые значения, не искажающие и даже сохраняющие основные свойства изучаемого признака. Задачи исследователя: а) правильно определить число рефлексивно выделяемых порядков (уровней); б) учесть, что сумма допущенных искажений будет включена в корреляционную матрицу, являющуюся основой входных данных факторного анализа; в) коэффициенты корреляции закрепляются в качестве «порядковых» искажений в измерениях (Labovitz, 1967, 1970;Kim, 1975).

Долгое время считалось, что искажения назначаются числовым значениям именно порядковых категорий. Однако это необоснованно, поскольку и для метрических величин возможны искажения, пусть даже минимальные, в процессе проведения эксперимента. В факторном анализе результаты зависят от возможного допущения ошибок, получаемых в процессе измерения, а не их происхождения и соотнесения к данным определенного типа шкал.

Можно ли использовать факторный анализ для номинальных (дихотомических) переменных?

Многие исследователи утверждают, что использовать факторный анализ для номинальных переменных очень удобно. Во-первых, дихотомические значения (значения, равные «0» и «1») исключают выбор каких-либо иных, отличных от них. Во-вторых, как результат, коэффициент связи является эквивалентом коэффициента корреляции Пирсона, который и выступает в качестве числового значения переменной для факторного анализа.

Однако однозначно положительного ответа на данный вопрос нет. Дихотомические переменные сложно выразить в рамках аналитической факторной модели: каждая переменная имеет значение весовой нагрузки, по крайней мере, двух основных факторов - общего и частного (Kim,Muller). Даже если эти факторы имеют два значения (что довольно редко встречается в реальных факторных моделях), то итоговые результаты в наблюдаемых переменных должны содержать, как минимум, четыре различных значения, которые, в свою очередь, и оправдывают противоречивость использования номинальных переменных. Поэтому факторный анализ для таких переменных используется с целью получения ряда эвристических критериев.

Сколько должно быть переменных для каждого гипотетически построенного фактора?

Предполагается, что для каждого фактора должно быть, по крайней мере, три переменные. Но это требование опускается, если факторный анализ используется для подтверждения какой-либо гипотезы. В общем, исследователи едины в том, что необходимо иметь, по крайней мере, вдвое больше переменных, чем факторов.

Еще один момент касательно данного вопроса. Чем больше размер выборки, тем достовернее значение критерия ХИ -квадрат. Результаты считаются статистически значимыми, если выборка включает как минимум 51 наблюдение. Таким образом:

N-n-150,(3.33)

где N – размер выборки (число измерений),

n – количество переменных (Lawley, Maxwell, 1971).

Это, конечно, только общее правило.

Какой смысл имеет знак факторной нагрузки?

Сам знак не имеет существенного значения и не существует пути для оценки значимости связи между переменной и фактором. Однако знаки переменных, входящих в фактор, имеют специфическое значение относительно знаков других переменных. Различные знаки просто означают, что переменные связаны с фактором в противоположных направлениях.

Например, по результатам факторного анализа было получено, что для пары качеств открытый-замкнутый (многофакторный опросник Кетелла) имеют место соответственно положительная и отрицательная весовые нагрузки. Тогда говорят, что доля качестваоткрытый, в выделенном факторе больше, чем доля качествазамкнутый.

Главные компоненты и факторный анализ

Факторный анализ как метод редукции данных

Предположим, что проводится (до некоторой степени "глупое") исследование, в котором измеряется рост ста людей в метрах и сантиметрах. Таким образом, имеются две переменные. Если далее исследовать, например, влияние разных пищевых добавок на рост, будет ли целесообразным использовать обе переменные? Вероятно, нет, т.к. рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется.

Предположим, что измеряется удовлетворенность людей жизнью с помощью опросника, содержащего различные пункты. Задаются, например, вопросы: удовлетворены ли люди своим хобби (пункт 1) и как интенсивно они им занимаются (пункт 2). Результаты преобразуются так, что средние по уровню ответы (например, для удовлетворенности) соответствуют значению 100, в то время как ниже и выше средних ответов расположены меньшие и большие значения, соответственно. Две переменные (ответы на два разных пункта) коррелированы между собой. Из высокой коррелированности двух этих переменных можно сделать вывод об избыточности двух пунктов опросника. Это, в свою очередь, позволяет осуществить объединение двух переменных в один фактор.

Новая переменная (фактор) будет включать в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, фактически, выполнено сокращение исходного числа переменных и осуществлена замена двух переменных одной. Отметим, что новый фактор (переменная) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных.

Пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает главную идею факторного анализа или, более точно, анализа главных компонент. Если же пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.

Метод главных компонент

Анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естественный вопрос: сколько факторов следует выделять? Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой "случайной" изменчивостью. Это решение достаточно произвольно, однако имеются некоторые рекомендации, позволяющие рационально выбрать число факторов (см. раздел Собственные значения и число выделяемых факторов ).

В случае, когда имеются более двух переменных, можно считать, что они определяют трехмерное "пространство" точно так же, как две переменные определяют плоскость. Если имеется три переменные, то можно построить трехмерную диаграмму рассеяния (см. рис. 3.10).

Рис. 3.10. Трехмерная диаграмма рассеяния признака

Для случая более трех переменных, становится невозможным представить точки на диаграмме рассеяния, однако логика вращения осей с целью максимизации дисперсии нового фактора остается прежней.

После того, как найдена линия, для которой дисперсия максимальна, вокруг нее остается некоторый разброс данных и процедуру естественно повторить. В анализе главных компонент именно так и делается: после того, как первый фактор выделен , то есть, после того, как первая линия проведена, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), и т.д. Таким образом, факторы последовательно выделяются один за другим. Так как каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то факторы оказываются независимыми друг от друга (некоррелированными или ортогональными ).

Собственные значения и число выделяемых факторов

Рассмотрим некоторые стандартные результаты анализа главных компонент. При повторных вычислениях выделяются факторы с все меньшей и меньшей дисперсией. Для простоты изложения считают, что обычно работа начинается с матрицы, в которой дисперсии всех переменных равны 1,0. Поэтому общая дисперсия равна числу переменных. Например, если имеется 10 переменных и дисперсия каждой из них равна 1, то наибольшая изменчивость, которая потенциально может быть выделена, равна 10 раз по 1.

Предположим, что при изучении степени удовлетворенности жизнью включено 10 пунктов для измерения различных аспектов удовлетворенности домашней жизнью и работой. Дисперсия, объясненная последовательными факторами, представлена в таблице 3.14:

Таблица 3. 14

Таблица собственных значений

STATISTICA ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ	Собственные значения (factor.sta) Выделение: Главные компоненты
Значение	Собственные значения	% общей дисперсии	Кумулят. собств. знач.	Кумулят. %

Во втором столбце таблицы 3. 14. (Собственные значения) представлена дисперсия нового, только что выделенного фактора. В третьем столбце для каждого фактора приводится процент от общей дисперсии (в данном примере она равна 10) для каждого фактора. Как видно, первый фактор (значение 1) объясняет 61 процент общей дисперсии, фактор 2 (значение 2) – 18 процентов, и т.д. Четвертый столбец содержит накопленную (кумулятивную) дисперсию.

Итак, дисперсии, выделяемые факторами, названы собственными значениями . Это название происходит из использованного способа вычисления.

Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, можно возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. Как говорилось выше, по своей природе это решение произвольно. Однако имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им дает наилучшие результаты.

Критерии выделения факторов

Критерий Кайзера. Сначала отбираются только те факторы, собственные значения которых больше 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий предложен Кайзером (Kaiser, 1960), и является наиболее широко используемым. В приведенном выше примере (см. табл. 3.14) на основе этого критерия следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).

Критерий каменистой осыпи является графическим методом, впервые предложенным Кэттелем (Cattell, 1966). Он позволяет изобразить собственные значения в виде простого графика:

Рис. 3. 11. Критерий каменистой осыпи

Оба критерия были изучены подробно Брауном (Browne, 1968), Кэттелем и Джасперсом (Cattell, Jaspers, 1967), Хакстианом, Рожерсом и Кэттелем (Hakstian, Rogers, Cattell, 1982), Линном (Linn, 1968), Тюкером, Купманом и Линном (Tucker, Koopman, Linn, 1969). Кэттель предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только «факториальная осыпь» («осыпь» – геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона). В соответствии с этим критерием можно оставить в рассмотренном примере 2 или 3 фактора.

Какому критерию все-таки следует отдавать предпочтение на практике?Теоретически, можно вычислить характеристики путем генерации случайных данных для конкретного числа факторов. Тогда можно увидеть, обнаружено с помощью используемого критерия достаточно точное число существенных факторов или нет. С использованием этого общего метода первый критерий (критерий Кайзера ) иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй критерий (критерий каменистой осыпи ) иногда сохраняет слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных.

На практике возникает важный дополнительный вопрос, а именно: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее "осмысленное". Этот вопрос далее будет рассматриваться в рамках вращений факторов.

Общности

На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью . Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Тогда доля дисперсии , за которую отвечает каждый пункт, равна суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность (Harman, Jones, 1966).

Главные факторы и главные компоненты

Термин факторный анализ включает как анализ главных компонент, так и анализ главных факторов. Предполагается, что, в целом, известно сколько факторов следует выделить. Можно узнать (1) значимость факторов, (2) можно ли интерпретировать их разумным образом и (3) как это сделать. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия "в обратном порядке", то есть, начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах.

Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных.

В большинстве случаев эти два метода приводят к весьма близким результатам. Однако анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.

Факторный анализ как метод классификации данных

Корреляционная матрица

Первый этап факторного анализа предусматривает вычисление корреляционной матрицы (в случае нормального выборочного распределения). Вернемся к примеру об удовлетворенности и рассмотрим корреляционную матрицу для переменных, относящихся к удовлетворенности на работе и дома.

Факторный анализ является одним из наиболее мощных статистиче­ских средств анализа данных. В его основе лежит процедура объединения групп коррелирующих друг с другом переменных («корреляционных плеяд» или «корреляционных узлов») в несколько факторов.

Иными словами, цель факторного анализа - сконцентриро­вать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более емких внутренних характеристик, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению (и в этом смысле являются латентными).

Для примера гипотетически представим себе законодательный ор­ган регионального уровня, состоящий из 100 депутатов. В числе разных вопросов повестки дня на голосование выносятся: а) законопро­ект, предлагающий восстановить памятник В.И. Ленину на центральной площади города - административного центра региона; б) обра­щение к Президенту РФ с требованием вернуть в государственную собственность все стратегические производства. Матрица сопряжен­ности показывает следующее распределение голосов депутатов:

	Памятник Ленину (за)	Памятник Ленину (против)
Обращение к Президенту (за)	49	4
Обращение к Президенту (против)	6	41

Очевидно, что голосования статистически связаны: подавляющее большинство депутатов, поддерживающих идею восстановления па­мятника Ленину, поддерживают и возвращение в государственную собственность стратегических предприятий. Аналогичным образом большинство противников восстановления памятника являются в то же время и противниками возврата предприятий в госсобственность. При этом тематически голосования между собой совершенно не связаны.

Логично предположить, что выявленная статистическая связь обусловлена существованием некоторого скрытого (латентного) фактора. Законодатели, формулируя свою точку зрения по самым разно­образным вопросам, руководствуются ограниченным, небольшим набором политических позиций. В данном случае можно предположить наличие скрытого раскола депутатского корпуса по критерию поддержки/отвержения консервативно-социалистических ценностей. Выделяется группа «консерваторов» (согласно нашей таблице сопря­женности - 49 депутатов) и их оппонентов (41 депутат). Выявив такие расколы, мы сможем описать большое число отдельных голосований через небольшое число факторов, которые являются латентными в том смысле, что мы не можем их обнаружить непосредственно: в на­шем гипотетическом парламенте ни разу не проводилось голосова­ние, в ходе которого депутатам предлагалось бы определить свое от­ношение к консервативно-социалистическим ценностям. Мы обнаруживаем наличие данного фактора, исходя из содержательного анализа количественных связей между переменными. Причем, если в нашем примере сознательно взяты номинальные переменные - поддержка законопроекта с категориями «за» (1) и «против» (0), - то в действительности факторный анализ эффективно обрабатывает ин­тервальные данные.

Факторный анализ очень активно используется как в политической науке, так и в «соседних» социологии и психологии. Одна из важных причин большой востребованности данного метода состоит в разнооб­разии задач, которые можно решать с его помощью. Так, выделяются по крайней мере три «типовые» цели факторного анализа:

· уменьшение размерности (редукция) данных. Факторный анализ, выделяя узлы взаимосвязанных признаков и сводя их к неким обоб­щенным факторам, уменьшает исходный базис признаков описания. Решение этой задачи важно в ситуации, когда объекты измерены боль­шим числом переменных и исследователь ищет способ сгруппировать их по смысловому признаку. Переход от множества переменных к не­скольким факторам позволяет сделать описание более компактным, избавиться от малоинформативных и дублирующих переменных;

Выявление структуры объектов или признаков (классификация). Эта задача близка к той, которая решается методом кластер-анализа. Но если кластер-анализ принимает за «координаты» объектов их зна­чения по нескольким переменным, то факторный анализ определяет положение объекта относительно факторов (связанных групп пере­менных). Иными словами, с помощью факторного анализа можно оценить сходство и различие объектов в пространстве их корреляци­онных связей, или в факторном пространстве. Координатными осями факторного пространства выступают полученные латентные пере­менные, на эти оси проецируются рассматриваемые объекты, что позволяет создать наглядное геометрическое представление изучаемых данных, удобное для содержательной интерпретации;

Косвенное измерение. Факторы, являясь латентными (эмпиричес­ки не наблюдаемыми), не поддаются непосредственному измерению. Однако факторный анализ позволяет не только выявить латентные переменные, но и оценить количественно их значение для каждого объекта.

Рассмотрим алгоритм и интерпретацию статистики факторного анализа на примере данных о результатах парламентских выборов в Рязанской области 1999 г. (общефедеральный округ). Для упрощения примера возьмем электоральную статистику только по тем партиям, которые преодолели 5%-ный барьер. Данные взяты в разрезе террито­риальных избирательных комиссий (по городам и районам области).

Первым шагом будет стандартизация данных путем перевода их в стандартные баллы (так называемые Л-баллы, рассчитываемые с помощью функции нормального распределения).

ТИК (территориальная избирательная комиссия)	«Ябло­ко»	«Единст­во»	Блок Жириновского	ОВР	КПРФ	СПС
Ермишинская	1,49	35,19	6,12	5,35	31,41	2,80
Захаровская	2,74	18,33	7,41	11,41	31,59	л б 3 "
Кадомская	1,09	29,61	8,36	5,53	35,87	1,94
Касимовская	1,30	39,56	5,92	5,28	29,96	2,37
Касимовская городская	3,28	39,41	5,65	6,14	24,66	4,61
То же в стандартизированных баллах (г-баллах)
Ермишинская	-0,83	1,58	-0,25	-0,91	-0,17	-0,74
Захаровская	-0,22	-1,16	0,97	0,44	-0,14	0,43
Кадомская	-1,03	0,67	1,88	-0,87	0,59	-1,10
Касимовская	-0,93	2,29	-0,44	-0,92	-0,42	-0,92
Касимовская городская	0,04	2,26	-0,70	-0,73	-1,32	0,01
И т.д. (всего 32 случая)

	«Яблоко»	«Единство»	БЖ	ОВР	КПРФ	СПС
«Яблоко»
«Единство»	-0,55
БЖ	-0,47	0,27
ОВР	0,60	-0,72	-0,47
КПРФ	-0,61	0,01	0,10	-0,48
СПС	0,94	-0,45	-0,39	0,52	-0,67

Уже визуальный анализ матрицы парных корреляций позволяет сделать предположения о составе и характере корреляционных плеяд. К примеру, положительные корреляции обнаруживаются для «Союза правых сил», «Яблока» и блока «Отечество - вся Россия» (пары «Яб­локо» - ОВР, «Яблоко» - СПС и ОВР - СПС). Одновременно эти три переменные отрицательно коррелируют с КПРФ (поддержка КПРФ), в меньшей степени - с «Единством» (поддержка «Един­ства») и в еще меньшей - с переменной БЖ (поддержка «Блока Жириновского»). Таким образом, предположительно мы имеем две выра­женные корреляционные плеяды:

(«Яблоко» + ОВР + СПС) - КПРФ;

(«Яблоко» + ОВР + СПС) - «Единство».

Это две разные плеяды, а не одна, так как между «Единством» и КПРФ связи нет (0,01). Относительно переменной БЖ предположе­ние сделать сложнее, здесь корреляционные связи менее выражены.

Чтобы проверить наши предположения, необходимо ВЫЧИСлить собственные значения факторов (eigenvalues), факторные значения (factor scores) и факторные нагрузки (factor loadings) для каждой пере­менной. Такие расчеты достаточно сложны, требуют серьезных навыков работы с матрицами, поэтому здесь мы не станем рассматривать вычислительный аспект. Скажем лишь, что эти вычисления могут осуществляться двумя путями: методом главных компонент (principal components) и методом главных факторов (principal factors). Метод главных компонент более распространен, статистические программы используют его «по умолчанию».

Остановимся на интерпретации собственных значений, фактор­ных значений и факторных нагрузок.

Собственные значения факторов для нашего случая таковы:

bgcolor=white>5

Фактор	Собственное значение	% общей вариации
1	3,52	58,75
2	1,14	19,08
3	0,76	12,64
4	0,49	S.22
0,05	0.80
6	0,03	0,51
Всего	6	100%

Чем больше собственное значение фактора, тем больше его объяснительная сила (максимальное значение равно количеству перемен­ных, в нашем случае 6). Одним из ключевых элементов статистики факторного анализа является показатель «% общей вариации» (% total variance). Он показывает, какую долю вариации (изменчивости) пере­менных объясняет извлеченный фактор. В нашем случае вес первого фактора превосходит вес всех остальных факторов, вместе взятых: он объясняет почти 59% общей вариации. Второй фактор объясняет 19% вариации, третий - 12,6% и т.д. по убывающей.

Имея собственные значения факторов, мы можем приступить к решению задачи сокращения размерности данных. Редукция про­изойдет за счет исключения из модели факторов, обладающих на­именьшей объяснительной силой. И здесь ключевой вопрос состоит в том, сколько факторов оставить в модели и какими критериями при этом руководствоваться. Так, явно лишними являются факторы 5 и 6, в совокупности объясняющие чуть более 1% всей вариации. А вот судьба факторов 3 и 4 уже не столь очевидна.

Как правило, в модели остаются факторы, собственное значение которых превышает единицу (критерий Кайзера). В нашем случае это факторы 1 и 2. Однако полезно проверить корректность удаления че­тырех факторов с помощью других критериев. Одним из наиболее широко используемых методов является анализ «графика осыпи» (scree plot). Для нашего случая он имеет вид:

График получил свое название из-за сходства со склоном горы. «Осыпь» - геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. «Ска­ла» - это по-настоящему влиятельные факторы, «осыпь» - статисти­ческий шум. Образно говоря, нужно найти место на графике, где кон­чается «скала» и начинается «осыпь» (где убывание собственных значений слева направо сильно замедляется). В нашем случае выбор нужно сделать из первого и второго перегибов, соответствующих двум и четырем факторам. Оставив четыре фактора, мы получим очень вы­сокую точность модели (более 98% общей вариации), но сделаем ее до­статочно сложной. Оставив два фактора, мы будем иметь значитель­ную необъясненную часть вариации (около 22%), но модель станет лаконичной и удобной в анализе (в частности, визуальном). Таким об­разом, в данном случае лучше пожертвовать некоторой долей точнос­ти в пользу компактности, оставив первый и второй факторы.

Проверить адекватность полученной модели можно с помощью специальных матриц воспроизведенных корреляций (reproduced corre­lations) и остаточных коэффициентов (residual correlations). Матрица воспроизведенных корреляций содержит коэффициенты, которые удалось восстановить по двум оставленным в модели факторам. Осо­бое значение в ней имеет главная диагональ, на которой расположены общности переменных (в таблице выделены курсивом), которые пока­зывают, насколько точно модель воспроизводит корреляцию перемен­ной с той же переменной, которая должна составлять единицу.

Матрица остаточных коэффициентов содержит разность между исходным и воспроизведенным коэффициентами. Например, вос­произведенная корреляция между переменными СПС и «Яблоко» со­ставляет 0,88, исходная - 0,94. Остаток = 0,94 - 0,88 = 0,06. Чем ни­же значения остатков, тем выше качество модели.

Воспроизведенные корреляции
	«Яблоко»	«Единство»	БЖ	ОВР	КПРФ	СПС
«Яблоко»	0,89
«Единство»	-0,53	0,80
БЖ	-0,47	0,59	0,44
ОВР	0,73	-0,72	-0,56	0,76
КПРФ	-0,70	0,01	0,12	-0,34	0,89
СПС	0,88 -0,43		-0,40	0,66	-0,77	0,88
Остаточные коэффициенты
	«Яблоко»	«Единство»	БЖ	ОВР	КПРФ	СПС
«Яблоко»	0,11
«Единство»	-0,02	0,20
БЖ	0,00	-0,31	0,56
ОВР	-0,13	-0,01	0,09	0,24
КПРФ	0,09	0,00	-0,02	-0,14	0,11
СПС	0,06	-0,03	0,01	-0,14	0,10	0,12

Как видно из матриц, двухфакторная модель, будучи в целом адек­ватной, плохо объясняет отдельные связи. Так, очень низкой является общность переменной БЖ (всего 0,56), слишком велико значение ос­таточного коэффициента связи БЖ и «Единства» (-0,31).

Теперь необходимо решить, насколько важным для данного кон­кретного исследования является адекватное представление переменной БЖ. Если важность высока (к примеру, если исследование посвя­щено анализу электората именно этой партии), корректно вернуться к четырехфакторной модели. Если нет, можно оставить два фактора.
Принимая во внимание учебный характер наших задач, оставим более простую модели.

Факторные нагрузки можно представить как коэффициен­ты корреляции каждой переменной с каждым из выявленных факторов 1ак, корреляция между значениями первой факторной переменной и значениями переменной «Яблоко» составляет -0,93. Все факторные нагрузки приводятся в матрице факторного отображения-

Чем теснее связь переменной с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак фактор­ной нагрузки указывает на прямую, а отрицательный знак - на обрат­ную связь переменной с фактором.

Имея значения факторных нагрузок, мы можем построить геомет­рическое представление результатов факторного анализа. По оси X отложим нагрузки переменных на фактор 1, по оси Y- нагрузки пе­ременных на фактор 2 и получим двухмерное факторное пространство.

Перед тем как приступить к содержательному анализу полученных результатов, осуществим еще одну операцию - вращение (rotation). Важность этой операции продиктована тем, что существует не один, а множество вариантов матрицы факторных нагрузок, в равной степе­ни объясняющих связи переменных (матрицу интеркорреляций). Не­обходимо выбрать такое решение, которое проще интерпретировать содержательно. Таковым считается матрица нагрузок, в которой зна­чения каждой переменной по каждому фактору максимизированы или минимизированы (приближены к единице или к нулю).

Рассмотрим схематичный пример. Имеется четыре объекта, рас­положенных в факторном пространстве следующим образом:

Нагрузки на оба фактора для всех объектов существенно отличны от нуля, и мы вынуждены привлекать оба фактора для интерпретации положения объектов. Но если «повернуть» всю конструкцию по часо­вой стрелке вокруг пересечения осей координат, получим следующую картинку:

В данном случае нагрузки на фактор 1 будут близки к нулю, а на­грузки на фактор 2 - к единице (принцип простой структуры). Соот­ветственно, для содержательной интерпретации положения объектов мы будем привлекать только один фактор - фактор 2.

Существует довольно большое количество методов вращения фак­торов. Так, группа методов ортогонального вращения всегда сохраняет прямой угол между координатными осями. К таковым относятся vanmax (минимизирует количество переменных с высокой факторной нагрузкой), quartimax (минимизирует количество факторов, необхо­димых для объяснения переменной), equamax (сочетание двух преды­дущих методов). Методы косоугольного вращения не обязательно со­храняют прямой угол между осями (например, direct obiimin). Метод promax представляет собой сочетание ортогонального и косоугольно­го методов вращения. В большинстве случаев используется метод vanmax, который дает хорошие результаты применительно и к большин­ству задач политических исследований. Кроме того, как и в процессе применения многих других методов, рекомендуется поэксперименти­ровать с различными техниками вращения.

В нашем примере после вращения методом varimax получаем сле­дующую матрицу факторных нагрузок:

Соответственно, геометрическое представление факторного про­странства будет иметь вид:

Теперь можно приступить к содержательной интерпретации полу­ченных результатов. Ключевую оппозицию - электоральный раскол - по первому фактору формируют КПРФ с одной стороны и «Яблоко» и СПС (в меньшей степени ОВР) - с другой. Содержательно - исхо­дя из специфики идеологических установок названных субъектов из­бирательного процесса - мы можем интерпретировать данное разме­жевание как «лево-правый» раскол, являющийся «классическим» для политической науки.

Оппозицию по фактору 2 формируют ОВР и «Единство». К послед­нему примыкает «Блок Жириновского», но достоверно судить о его по­ложении в факторном пространстве мы не можем в силу особенностей модели, которая плохо объясняет связи именно этой переменной. Что­бы объяснить такую конфигурацию, необходимо вспомнить политиче­ские реалии избирательной кампании 1999 г. Тогда борьба внутри поли­тической элиты привела к формированию двух эшелонов «партии власти» - блоков «Единство» и «Отечество - вся Россия». Различие между ними не носило идеологического характера: фактически населе­нию предложили выбирать не из двух идейных платформ, а из двух элитных групп, каждая из которых располагала существенными власт­ными ресурсами и региональной поддержкой. Таким образом, этот рас­кол можно интерпретировать как «властно-элитный» (или, несколько упрощая, «власть - оппозиция»).

В целом мы получаем геометрическое представление некоего элек­торального пространства Рязанской области для данных выборов, ес­ли понимать электоральное пространство как пространство электо­рального выбора, структуру ключевых политических альтернатив («расколов»). Комбинация именно этих двух расколов была очень ти­пична для парламентских выборов 1999 г.

Сопоставляя результаты факторного анализа для одного и того же региона на разных выборах, мы можем судить о наличии преемственно­сти в конфигурации пространства электорального выбора территории. К примеру, факторный анализ федеральных парламентских выборов (1995, 1999 и 2003 гг.), проходивших в Татарстане, показал устойчивую конфигурацию электорального пространства. Для выборов 1999 г. в мо­дели оставлен всего один фактор с объяснительной силой 83% вариа­ции, что сделало невозможным построение двухмерной диаграммы. В соответствующем столбце приведены факторные нагрузки.

Если внимательно присмотреться к этим результатам, можно заме­тить, что в республике от выборов к выборам воспроизводится один и тот же основной раскол: «"партия власти” - все остальные». «Партией влас­ти» в 1995 г. выступал блок «Наш дом - Россия» (НДР), в 1999 г. - ОВР, в 2003 г. - «Единая Россия». С течением времени меняются лишь «дета­ли» - название «партии власти». Новый политический «лейбл» очень легко ложится в статичную матрицу одномерного политического выбора.

В заключение главы дадим один практический совет. Успешность освоения статистических методов по большому счету возможна только при интенсивной практической работе со специальными программами (уже неоднократно упомянутые SPSS, Statistica или хотя бы Microsoft Excel). Не случайно изложение статистических техник ведется нами в режиме алгоритмов работы: это позволяет студенту самостоятельно пройти все стадии анализа, сидя за компьютером. Без попыток практи­ческого анализа реальных данных представление о возможностях ста­тистических методов в политическом анализе неизбежно останется об­щим и абстрактным. А на сегодняшний день умение применять статистику для решения и теоретических, и прикладных задач - прин­ципиально важная составляющая модели специалиста-политолога.

Контрольные вопросы и задания

1. Каким уровням измерения соответствуют средние величины - мода, медиана, среднее арифметическое? Какие меры вариации характерны для каждой из них?

2. В силу каких причин необходимо учитывать форму распределения пере­менных?

3. Что означает утверждение: «Между двумя переменными имеется стати­стическая связь»?

4. Какую полезную информацию о связях между переменными можно по­лучить на основе анализа таблиц сопряженности?

5. Что можно узнать о связи между переменными, исходя из значений ста­тистических критериев хи-квадрат и лямбда?

6. Дайте определение понятию «ошибка» в статистических исследованиях. Каким образом по данному показателю можно судить о качестве построенной статистической модели?

7. Какова основная цель корреляционного анализа? Какие характеристи­ки статистической связи выявляет данный метод?

8. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

9. Охарактеризуйте метод дисперсионного анализа. В каких других статис­тических методах используется статистика дисперсионного анализа и для чего?

10. Объясните значение понятия «нулевая гипотеза».

11. Что такое линия регрессии, каким методом она строится?

12. Что показывает коэффициент R в итоговой статистике регрессионно­го анализа?

13. Поясните термин «метод многомерной классификации».

14. Объясните основные различия между кластеризацией посредством иерархического кластер-анализа и методом К-средних.

15. Каким образом кластер-анализ может использоваться при изучении имиджа политических лидеров?

16. Какова основная задача, решаемая посредством дискриминантного анализа? Дайте определение дискриминантной функции.

17. Назовите три класса задач, решаемых с помощью факторного анализа. Конкретизируйте понятие «фактор».

18. Дайте характеристику трем основным методам проверки качества мо­дели в факторном анализе (критерий Кайзера, критерий «осыпи», матрица воспроизведенных корреляций).

Міжнародна міграція фінансових ресурсів у контексті факторного аналізу

25. Ж.-Б. Сэй вошел в историю экономической науки как автор факторной теории стоимости. Каковы основные положения этой теории?

Технико-экономический анализ строительного проекта и анализ обеспечения по запрашиваемому строительному кредиту

Для удобства изучения материала разбиваем статью на темы:

П кр = В отч * (У кр отч. -У кр. баз.)/100
У кр.отч. и баз – графы 6 и 7.

5. Расчет фактора «управленческие расходы»

Пупр. =Вотч. *(Ууро -У урб)/100
Где Ууро и У ур - соответственно уровни управленческих расходов в отчетном и базисном периодах

6. Расчет совокупности влияния всех факторов на прибыль от продаж

Сумма «Итого» должна быть равна абсолютному отклонению по строке 050 Формы №2 (графа 5). Если это не так, то расчеты ошибочны и дальнейший анализ не имеет смысла.

Факторный анализ может быть продолжен до чистой прибыли. Методика его проведения следующая:

1. По приведенной схеме анализируется прибыль от продаж.
2. Влияние всех остальных факторов (операционный доход, расход и т.д.) оценивается по графе 5 в приведенной выше таблице.

Методы факторного анализа

Все явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности. Одни из них непосредственно связаны между собой, другие косвенно. Отсюда важным методологическим вопросом в экономическом анализе является изучение и измерение влияния факторов на величину исследуемых экономических показателей.

Факторный анализ в учебной литературе трактуется как раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.

Свою историю факторный анализ начинает в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологии занимались такие ученые как: Ч.Спирмен, Л.Терстоун и Р.Кеттел Математический факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и другими учеными.

Данный вид анализа позволяет исследователю решить две основные задачи: описать предмет измерения компактно и в то же время всесторонне. С помощью факторного анализа возможно выявление факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными.

К примеру, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь отмечает, что они сходны между собой и имеют высокий коэффициент корреляции, в этом случае он может предположить, что существует некоторая латентная переменная, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором, который влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит к возможности и необходимости отметить его как наиболее общий, более высокого порядка.

Таким образом, можно выделить две цели факторного анализа:

Определение взаимосвязей между переменными, их классификация, т. е. «объективная R-классификация»;
сокращение числа переменных.

Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонентов. Суть данного метода состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство данного метода также в том, что он – единственный математически обоснованный метод факторного анализа.

Факторный анализ – методика комплексного и системного изучения и измерения воздействия факторов на величину результативного показателя.

Существуют следующие типы факторного анализа:

1. Детерминированный (функциональный) – результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.
2. Стохастический (корреляционный) – связь между результативным и факторными показателями является неполной или вероятностной.
3. Прямой (дедуктивный) – от общего к частному.
4. Обратный (индуктивный) – от частного к общему.
5. Одноступенчатый и многоступенчатый.
6. Статический и динамический.
7. Ретроспективный и перспективный.

Также факторный анализ может быть разведочным – он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках и конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий.

Обязательные условия факторного анализа:

Все признаки должны быть количественными;
Число признаков должно быть в два раза больше числа переменных;
Выборка должна быть однородна;
Исходные переменные должны быть распределены симметрично;
Факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

При анализе в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будет выше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентные переменные, что бывает особенно важно при анализе социальных представлений и ценностей.

Как правило, факторный анализ проводится в несколько этапов.

Этапы факторного анализа:

1 этап. Отбор факторов.
2 этап. Классификация и систематизация факторов.
3 этап. Моделирование взаимосвязей между результативным и факторными показателями.
4 этап. Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.
5 этап. Практическое использование факторной модели (подсчет резервов прироста результативного показателя).

По характеру взаимосвязи между показателями различают методы детерминированного и стохастического факторного анализа

Детерминированный факторный анализ представляет собой влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т. е. когда результативный показатель факторной модели представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

Методы детерминированного факторного анализа: Метод цепных подстановок; Метод абсолютных разниц; Метод относительных разниц; Интегральный метод; Метод логарифмирования.

Данный вид факторного анализа наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простым в применении (по сравнению со стохастическим анализом), позволяет осознать логику действия основных факторов развития предприятия, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы, и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения .

Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель.

Методы стохастического факторного анализа: - Способ парной корреляции;
- Множественный корреляционный анализ;
- Матричные модели;
- Математическое программирование;
- Метод исследования операций;
- Теория игр.

Необходимо также различать статический и динамический факторный анализ. Первый вид применяется при изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.

И, наконец, факторный анализ может быть ретроспективным, который изучает причины прироста результативных показателей за прошлые периоды, и перспективным, который исследует поведение факторов и результативных показателей в перспективе.

Факторный анализ рентабельности

Основной целью деятельности любой компании является поиск оптимальных , направленных на максимизацию прибыли, относительным выражением которой являются показатели рентабельности. Преимущества использования данных показателей в анализе заключаются в возможности сравнения эффективности деятельности не только в рамках одной компании, но и применения многомерного нескольких компаний за ряд лет. Кроме того, показатели рентабельности, как любые относительные показатели, представляют собой важные характеристики факторной среды формирования прибыли и дохода компаний.

Проблематика применения аналитических процедур в этой области заключается в том, что авторами предлагаются различные подходы к формированию не только базовой системы показателей, но и показателей рентабельности.

Для анализа рентабельности, используют следующую факторную модель:

R = P/N, или
R = (N - S)/N * 100
где Р - прибыль; N - выручка; S - себестоимость.

При этом влияние фактора изменения цены на продукцию определяется по формуле:

RN = (N1 - S0)/N1 - (N0 - S0)/N0
Соответственно, влияние фактора изменения себестоимости составит:
RS = (N1 - S1)/N1 - (N1 - S0)/N1
Сумма факторных отклонений даст общее изменение рентабельности за период:
R = RN + RS

Используя данную модель, проведем факторный анализ показателей рентабельности выпуска метизной продукции условным предприятием. Для проведения анализа и построения факторной модели необходимы данные: о ценах на реализуемую продукцию, объемах реализации и себестоимости выпуска или реализации одной ед. продукта.

Детерминированный факторный анализ

Детерминированное моделирование факторных систем ограничено длиной факторного поля прямых связей. При недостаточном уровне знаний о природе прямых связей того или иного показателя хозяйственной деятельности часто необходим иной подход к познанию объективной действительности. Размах количественных изменений экономических показателей можно выяснить только стохастическим анализом массовых эмпирических данных.

При детерминированном факторном анализе модель изучаемого явления не изменяется по хозяйственным объектам и периодам (так как соотношения соответствующих основных категорий стабильны). При необходимости сравнения результатов деятельности отдельных хозяйств или одного хозяйства в отдельные периоды может возникать лишь вопрос о сопоставимости выявленных на основе модели количественных аналитических результатов.

Детерминированный факторный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т.е. может быть выражен математической зависимостью.

Детерминированные модели могут быть разного типа: аддитивные, мультипликативные, кратные, смешанные.

Факторный анализ предприятия

Факторы, влияние которых изучается при проведении анализа хозяйственной деятельности, классифицируются по различным признакам. Прежде всего, их можно подразделить на два основных вида: внутренние факторы, зависящие от деятельности данной организации, и внешние факторы, не зависящие от данной организации.

Внутренние факторы в зависимости от величины их воздействия на экономические показатели, можно подразделить на главные и второстепенные. К числу главных относятся факторы, связанные с использованием , и материалов, а также факторы, обусловленные снабженческо-сбытовой деятельностью и некоторыми другими сторонами функционирования организации. Главные факторы оказывают основополагающее воздействие на обобщающие экономические показатели. Внешние факторы, не зависящие от данной организации, обусловлены природно-климатическими (географическими), социально-экономическими, а также внешнеэкономическими условиями.

В зависимости от длительности их воздействия на экономические показатели можно выделить постоянные и переменные факторы. Первый вид факторов оказывает влияние на экономические показатели, которое не ограничено во времени. Переменные факторы воздействуют на экономические показатели лишь в течение определенного периода времени.

Факторы могут подразделяться на экстенсивные (количественные) и интенсивные (качественные) по признаку сущности их влияния на экономические показатели. Так, например, если изучается влияние на объем выпуска продукции трудовых факторов, то изменение численности рабочих будет являться экстенсивным фактором, а изменение одного рабочего - интенсивным факторов.

Факторы, влияющие на экономические показатели, по степени их зависимости от воли и сознания работников организации и других лиц, могут подразделяться на объективные и субъективные факторы. К объективными факторам могут быть отнесены погодные условия, стихийные бедствия, которые не зависят от деятельности человека. Субъективные же факторы целиком и полностью зависят от людей. Подавляющее большинство факторов следует отнести к числу субъективных.

Факторы можно подразделить также в зависимости от сферы их действия на факторы неограниченного и факторы ограниченного действия. Первый вид факторов действует повсеместно, в любых отраслях народного хозяйства. Второй вид факторов оказывает влияние лишь внутри какой-либо отрасли или даже отдельной организации.

По своей структуре факторы подразделяются на простые и сложные. Подавляющая часть факторов - сложные, включающие в себя несколько составных частей. Вместе с тем имеются и такие факторы, которые не поддаются расчленению. Например, фондоотдача может служить примером сложного фактора. Количество дней, отработанных оборудованием за данный период является простым фактором.

По характеру влияния на обобщающие экономические показатели различают прямые и косвенные факторы. Так, изменение себестоимости проданной продукции, хотя оно и оказывает обратное влияние на величину прибыли, следует считать прямым факторам, то есть фактором первого порядка. Изменение же величины материальных затрат оказывает на прибыль косвенное влияние, т.е. воздействует на прибыль не непосредственно, а через себестоимость, представляющую собой фактор первого порядка. Исходя из этого уровень материальных затрат следует считать фактором второго порядка, то есть косвенным фактором.

В зависимости от того, можно ли дать количественную оценку влияния данного фактора на обобщающий экономический показатель, различают измеряемые и неизмеряемые факторы.

Эта классификация тесно взаимосвязана с классификацией резервов повышения эффективности хозяйственной деятельности организаций, или, иначе говоря, резервов улучшения анализируемых экономических показателей.

Модели факторного анализа

Предположим, что вы проводите (до некоторой степени "глупое") исследование, в котором измеряете рост ста людей в дюймах и сантиметрах. Таким образом, у вас имеются две переменные. Если далее вы захотите исследовать, например, влияние различных пищевых добавок на рост, будете ли вы продолжать использовать обе переменные Вероятно, нет, т.к. рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется.

Теперь предположим, вы хотите измерить удовлетворенность людей жизнью, для чего составляете вопросник с различными пунктами; среди других вопросов задаете следующие: удовлетворены ли люди своим хобби (пункт 1) и как интенсивно они им занимаются (пункт 2). Результаты преобразуются так, что средние ответы (например, для удовлетворенности) соответствуют значению 100, в то время как ниже и выше средних ответов расположены меньшие и большие значения, соответственно. Две переменные (ответы на два разных пункта) коррелированны между собой. (Если вы не знакомы с понятием коэффициента корреляции, рекомендуем обратиться к разделу Основные статистики и таблицы - Корреляции). Из высокой коррелированности двух этих переменных можно сделать вывод об избыточности двух пунктов опросника.

Объединение двух переменных в один фактор. Зависимость между переменными можно обнаружить с помощью диаграммы рассеяния. Полученная путем подгонки линия дает графическое представление зависимости. Если определить новую переменную на основе линии регрессии, изображенной на этой диаграмме, то такая переменная будет включить в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, фактически, вы сократили число переменных и заменили две одной. Отметим, что новый фактор (переменная) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных.

Анализ главных компонент. Пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает главную идею модель факторного анализа или, более точно, анализа главных компонент (это различие будет обсуждаться позднее). Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.

Выделение главных компонент. В основном процедура выделения главных компонент подобна вращению, максимизирующему дисперсию (варимакс) исходного пространства переменных. Например, на диаграмме рассеяния вы можете рассматривать линию регрессии как ось X, повернув ее так, что она совпадает с прямой регрессии. Этот тип вращения называется вращением, максимизирующим дисперсию, так как критерий (цель) вращения заключается в максимизации дисперсии (изменчивости) "новой" переменной (фактора) и минимизации разброса вокруг нее (см. Стратегии вращения).

Обобщение на случай многих переменных. В том случае, когда имеются более двух переменных, можно считать, что они определяют трехмерное "пространство" точно так же, как две переменные определяют плоскость. Если вы имеете три переменные, то можете построить 3М диаграмму рассеяния.

Для случая более трех переменных, становится невозможным представить точки на диаграмме рассеяния, однако логика вращения осей с целью максимизации дисперсии нового фактора остается прежней.

Несколько ортогональных факторов. После того, как вы нашли линию, для которой дисперсия максимальна, вокруг нее остается некоторый разброс данных. И процедуру естественно повторить. В анализе главных компонент именно так и делается: после того, как первый фактор выделен, то есть, после того, как первая линия проведена, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), и т.д. Таким образом, факторы последовательно выделяются один за другим. Так как каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то факторы оказываются независимыми друг от друга. Другими словами, некоррелированными или ортогональными.

Сколько факторов следует выделять Напомним, что анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естественный вопрос: сколько факторов следует выделять Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой "случайной" изменчивостью.

Обзор результатов анализа главных компонент. Посмотрим теперь на некоторые стандартные результаты анализа главных компонент. При повторных итерациях вы выделяете факторы с все меньшей и меньшей дисперсией. Для простоты изложения считаем, что обычно работа начинается с матрицы, в которой дисперсии всех переменных равны 1.0. Поэтому общая дисперсия равна числу переменных. Например, если вы имеете 10 переменных, каждая из которых имеет дисперсию 1, то наибольшая изменчивость, которая потенциально может быть выделена, равна 10 раз по 1. Предположим, что при изучении степени удовлетворенности жизнью вы включили 10 пунктов для измерения различных аспектов удовлетворенности домашней жизнью и работой.

Собственные значения. Во втором столбце (Собственные значения) таблицы результатов вы можете найти дисперсию нового, только что выделенного фактора. В третьем столбце для каждого фактора приводится процент от общей дисперсии (в данном примере она равна 10) для каждого фактора. Как можно видеть, первый фактор (значение 1) объясняет 61 процент общей дисперсии, фактор 2 (значение 2) - 18 процентов, и т.д. Четвертый столбец содержит накопленную или кумулятивную дисперсию. Дисперсии, выделяемые факторами, названы собственными значениями. Это название происходит из использованного способа вычисления.

Собственные значения и задача о числе факторов. Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, вы можете возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. Как говорилось выше, по своей природе это решение произвольно. Однако имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им дает наилучшие результаты.

Критерий Кайзера. Сначала вы можете отобрать только факторы, с собственными значениями, большими 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий предложен Кайзером (Kaiser, 1960), и является, вероятно, наиболее широко используемым. В приведенном выше примере на основе этого критерия вам следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).

Критерий каменистой осыпи. Критерий каменистой осыпи является графическим методом, впервые предложенным Кэттелем (Cattell, 1966). Вы можете изобразить собственные значения, представленные в таблице ранее, в виде простого графика.

Кэттель предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только "факториальная осыпь" - "осыпь" является геологическим термином, обозначающим обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. В соответствии с этим критерием можно оставить в этом примере 2 или 3 фактора.

Какой критерий следует использовать. Оба критерия были изучены подробно Брауном (Browne, 1968), Кэттелем и Джасперсом (Cattell, Jaspers, 1967), Хакстианом, Рожерсом и Кэттелем (Hakstian, Rogers, Cattell, 1982), Линном (Linn, 1968), Тюкером, Купманом и Линном (Tucker, Koopman, Linn, 1969). Теоретически, можно вычислить их характеристики путем генерации случайных данных для конкретного числа факторов. Тогда можно увидеть, обнаружено с помощью используемого критерия достаточно точное число существенных факторов или нет. С использованием этого общего метода первый критерий (критерий Кайзера) иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй критерий (критерий каменистой осыпи) иногда сохраняет слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных. На практике возникает важный дополнительный вопрос, а именно: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее "осмысленное". Этот вопрос далее будет рассматриваться в рамках вращений факторов.

Анализ главных факторов. Прежде, чем продолжить рассмотрение различных аспектов вывода анализа главных компонент, введем анализ главных факторов. Вернемся к примеру вопросника об удовлетворенности жизнью, чтобы сформулировать другую "мыслимую модель". Вы можете представить себе, что ответы субъектов зависят от двух компонент. Сначала выбираем некоторые подходящие общие факторы, такие как, например, "удовлетворение своим хобби", рассмотренные ранее. Каждый пункт измеряет некоторую часть этого общего аспекта удовлетворения. Кроме того, каждый пункт включает уникальный аспект удовлетворения, не характерный для любого другого пункта.

Общности. Если эта модель правильна, то вы не можете ожидать, что факторы будут содержать всю дисперсию в переменных; они будут содержать только ту часть, которая принадлежит общим факторам и распределена по нескольким переменным. На языке модель факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью. Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Доля дисперсии, за которую отвечает каждый пункт, равна тогда суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность. С общей точки зрения в качестве оценки общности следует использовать множественный коэффициент корреляции выбранной переменной со всеми другими (для получения сведений о теории множественной регрессии сошлемся на раздел Множественная регрессия). Некоторые авторы предлагают различные итеративные "улучшения после решения" начальной оценки общности, полученной с использованием множественной регрессии; например, так называемый метод MINRES (метод минимальных факторных остатков; Харман и Джоунс (Harman, Jones, 1966)), который производит испытание различных модификаций факторных нагрузок с целью минимизации остаточных (необъясненных) сумм квадратов.

Главные факторы в сравнении с главными компонентами. Главные факторы в сравнении с главными компонентами. Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов вы используете только изменчивость переменной, общую и для других переменных. Подробное обсуждение всех "за" и "против" каждого подхода находится за пределами данного введения. В большинстве случаев эти два метода приводят к весьма близким результатам. Однако анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных (см. следующий раздел).

Факторный анализ продаж

Аналогичным образом выведем модели для факторного анализа рентабельности продаж.

Исходный показатель имеет вид:

РПр= Прп/РП = СРП - Срп)/РП.

Изменение рентабельности продаж под воздействием соответствующих факторов:

Лрпр = Прп1 /РП1- ПрпО /РП0= (РП1 - Срп1)/РП1 - (РП0 - Срп0)/РЛ0 = - CpnJ/РШ + Срп0/РП0 = (Срп0/РШ - Срп1/РП1) + (Срп0/РП0 - Срп0/РП1) = ЛрсПРС + А/V.

Здесь составляющая Ар прС характеризует влияние изменения себестоимости реализованной продукции на динамику рентабельности продаж. А составляющая А//ППР - влияние изменения объема реализации. Они определяются соответственно: АрсПРс = Срп0/РП1 - Срп1/РП1; А/пПр = Срп0/РП0 - Срп0/РП1.

Применяя метод цепных подстановок факторный анализ рентабельности продаж можно продолжить посредством исследования влияния на составляющую Ар прС динамики таких факторов, как:

А) себестоимость реализации товаров, продукции, работ, услуг:
АрсПрр =(Ср0 - Ср1)/РП1,
где СрО, Cpl - себестоимость реализации товаров, продукции, работ, услуг, соответственно в базисном и отчетном периодах (строка 020 формы 2), руб.;

Б) управленческие расходы:

Ар „, у =(СуО - Су1)/РП1, где СуО, Су1 - управленческие расходы соответственно в базисном и отчетном периодах (строка 030 формы 2), руб.,

В) коммерческие расходы:

ЛрсПрк =(СкО - Ск1)/РП1, где СкО, Ск1 - коммерческие расходы соответственно в базисном и отчетном периодах (строка 040 формы 2), руб.

Если предприятие ведет учет себестоимости и выручки по отдельным видам продукции, то в процессе анализа необходимо оценить влияние структуры реализации на изменение рентабельности продукции. Однако такое исследование возможно лишь по данным оперативной , то есть выполняется в процессе внутрифирменного анализа. Продемонстрируем его на следующем примере.

Пример: Оценить влияние структуры реализации на изменение рентабельности реализованной продукции.

Изделия Удельный вес j-го Рентабельность j -го изделия в объеме изделия, Pj реализации, %, dj Прошлый Отчетный Прошлый год отчетный А 30 40 0,25 0,245 Б 70 60 0,125 0,128

Рентабельность реализованной продукции:

Прошлый год р»т = ^podo = 0,25*0,3 + 0,125*0,7 = 0,1625,
отчетный ГОД ^ = = 0,245*0,4 + 0,128*0,6 = 0,1748,
ЛрРП = р\п - р\п = 0,1748 - 0,1625 = 0,0123 .

Данное изменение рентабельности является результатом влияния двух факторов:

Изменение рентабельности отдельных изделий:
ршР1 =ip>jd)-ipw =
П 1=1
= 0,1748 - (0,25*0,4 + 0,125*0,6) = 0,1748 - 0,1750 = -0,0002.
Изменение структуры реализации:
Pmd. = Z P°Jd) ~ Z P°JdJ = °"1750 " °"1625 = +0"0125 "" M M

Вывод: Повышение уровня рентабельности реализованной продукции произошло за счет изменения структуры реализации. Повышение доли более рентабельной продукции (изделие А) с 30% до 40% в объеме реализации привело к росту рентабельности реализованной продукции на 1,25%. Однако, снижение рентабельности изделия А вызвало уменьшение рентабельности реализованной продукции на 0,02%. Поэтому общее повышение рентабельности продукции составило 1,23%.

Задачи факторного анализа

1. Отбор факторов для анализа исследуемых результативных показателей и их классификация.
2. Определение формы зависимости между факторными и результативными показателями, построение факторной модели.
3. Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.

Самой главной задачей детерминированного факторного анализа является расчет влияния факторов на величину результативных показателей, для чего в анализе используется целый арсенал методов, сущность, назначение, сфера применения которых рассматривается ниже.

Важно различать факторы по их содержанию: экстенсивные (количественные), интенсивные (качественные); и по уровню соподчиненности.

Некоторые факторы оказывают непосредственное влияние на результативный показатель, другие – косвенное. По уровню соподчиненности (иерархии) различают факторы первого, второго, третьего и последующих уровней подчинения.

В настоящее время при анализе фактической себестоимости произведенных товаров, выявлении резервов и экономического эффекта от ее снижения используется факторный анализ.

Поскольку себестоимость комплексный результирующий показатель, и знание условий его формирования важно для эффективного управления организацией, интерес представляет оценка влияния на этот показатель различных факторов или причин при их изменении в процессе производства, в частности – отклонения от плановых значений, значений в базовом периоде и т.п.

Экономические факторы наиболее полно охватывают все элементы процесса производства - средства, предметы труда и сам труд. Они отражают основные направления работы коллективов предприятий по снижению себестоимости: повышение производительности труда, внедрение передовой техники и технологии, лучшее использование оборудования, удешевление заготовки и лучшее использование предметов труда, сокращение административно-управленческих и других , сокращение брака и ликвидация непроизводительных расходов и потерь.

К важнейшим группам факторам, оказывающим существенное влияние на себестоимость, можно отнести следующие:

1) Повышение технического уровня производства: внедрение новой, прогрессивной технологии; механизация и автоматизация производственных процессов; улучшение использования и применение новых видов сырья и материалов; изменение конструкции и технических характеристик изделий. Уменьшаются и в результате комплексного использования сырья, применения экономичных заменителей, полного использования отходов в производстве. Большой резерв таит в себе и совершенствование продукции, снижение ее материалоемкости и трудоемкости, снижение веса машин и оборудования, уменьшение габаритных размеров и др.

Для данной группы факторов по каждому мероприятию рассчитывается экономический эффект, который выражается в снижении затрат на производство. Экономия от осуществления мероприятий определяется сравнением величины затрат на единицу продукции до и после внедрения мероприятий и умножением полученной разности на объем производства в планируемом году:

ЭК = (З0 – З1) * Q, (7.8)
где ЭK - экономия прямых текущих затрат;
З0 - прямые текущие затраты на единицу продукции до внедрения мероприятия;
З1 - прямые текущие затраты на единицу продукции после внедрения мероприятия;
Q - объем выпуска товаров в натуральных единицах от начала внедрения мероприятия до конца планируемого периода.

2) Совершенствование организации производства и труда: изменения в организации производства, формах и методах труда при развитии специализации производства; совершенствования управления производством и сокращения затрат на него; улучшение использования ; улучшение материально-технического снабжения; сокращения транспортных расходов; прочих факторов, повышающих уровень организации производства. При одновременном совершенствовании техники и организации производства необходимо установить экономию по каждому фактору в отдельности и включить в соответствующие группы. Если такое разделение сделать трудно, то экономия может быть рассчитана исходя из целевого характера мероприятий либо по группам факторов.

Снижение текущих затрат происходит в результате совершенствования обслуживания основного производства (например, развития поточного производства, повышения коэффициента сменности, упорядочения подсобно-технологических работ, улучшения инструментального хозяйства, совершенствования организации контроля за качеством работ и товаров). Значительное уменьшение затрат живого труда может произойти при увеличении норм и зон обслуживания, сокращении потерь , уменьшении числа рабочих, не выполняющих норм выработки. Эту экономию можно подсчитать, если умножить количество высвобождающихся рабочих на среднюю в предыдущем году (с начислениями на социальное страхование и с учетом расходов на спецодежду, питание и т.п.). Дополнительная экономия возникает при совершенствовании структуры управления организации в целом. Она выражается в сокращении расходов на управление и в экономии заработной платы и начислений на нее в связи с высвобождением управленческого персонала.

При улучшении использования основных средств экономия исчисляется как произведение абсолютного сокращения затрат (кроме амортизации) на единицу оборудования (или других основных средств) на среднедействующее количество оборудования (или других основных средств).

Совершенствование материально-технического снабжения и использования материальных ресурсов находит отражение в уменьшении норм расхода сырья и материалов, снижении их себестоимости за счет уменьшения заготовительно-складских расходов. Транспортные расходы сокращаются в результате уменьшения затрат на доставку сырья и материалов от поставщика до складов организации, от заводских складов до мест потребления; уменьшения расходов на транспортировку готовых изделий.

3) Изменение объема и структуры товаров: изменение номенклатуры и , повышение качества и объема производства товаров. Изменения в данной группе факторов могут привести к относительному уменьшению условно-постоянных расходов (кроме амортизации), относительному уменьшению . Условно-постоянные расходы не зависят непосредственно от количества выпускаемых товаров, с увеличением объема производства их количество на единицу товара уменьшается, что приводит к снижению его себестоимости.

Относительная экономия на условно-постоянных расходах определяется по формуле

ЭKП = (ТV * ЗУП0) / 100, (7.9)
где ЭКП - экономия условно-постоянных расходов;
ЗУП0 - сумма условно-постоянных расходов в базисном периоде;
ТV - темп прироста объема производства по сравнению с базисным периодом.

Относительное изменение амортизационных отчислений рассчитывается особо. Часть амортизационных отчислений (как и других затрат на производство) не включается в себестоимость, а возмещается за счет других источников (спецфондов, оплаты услуг на сторону, не включаемых в состав товарной продукции, и др.), поэтому общая сумма амортизации может уменьшится. Уменьшение определяется по фактическим данным за отчетный период. Общую экономию на амортизационных отчислениях рассчитывают по формуле

ЭКА = (АОК / QО - А1К / Q1) * Q1 , (7.10)
где ЭКА - экономия в связи с относительным снижением амортизационных отчислений;
А0, А1 - сумма амортизационных отчислений в базисном и отчетном периоде;
К - коэффициент, учитывающий величину амортизационных отчислений, относимых на в базисном периоде;
Q0, Q1 - объем выпуска товаров в натуральных единицах базисного и отчетного периода.

Чтобы не было повторного счета, общую сумму экономии уменьшают (увеличивают) на ту часть, которая учтена по другим факторам.

Изменение номенклатуры и ассортимента товаров является одним из важных факторов, влияющих на уровень затрат на производство. При различной рентабельности отдельных изделий (по отношению к себестоимости) сдвиги в составе товаров, связанные с совершенствованием структуры и повышением эффективности производства, могут приводить и к уменьшению и к увеличению затрат на производство. Влияние изменений структуры товаров на себестоимость анализируется по переменным расходам по статьям калькуляции типовой номенклатуры. Расчет влияния структуры товаров на себестоимость необходимо увязать с показателями повышения производительности труда.

4) Улучшение использования природных ресурсов: изменение состава и качества сырья; изменение продуктивности месторождений, объемов подготовительных работ при добыче, способов добычи природного сырья; изменение других природных условий. Эти факторы отражают влияние естественных (природных) условий на величину переменных затрат. Анализ их влияния на снижение себестоимости продукции проводится на основе отраслевых методик добывающих отраслей промышленности.

5) Отраслевые и прочие факторы: ввод и освоение новых цехов, производственных единиц и производств, подготовка и освоение производства; прочие факторы.

Значительные резервы заложены в снижении расходов на подготовку и освоение новых видов производства товаров и новых технологических процессов, в уменьшении затрат пускового периода по вновь вводимым в действие цехам и объектам.

Расчет суммы изменения расходов осуществляется по формуле:

ЭКП = (З1/Q1 - З0/Q0) * Q1 , (7.11)
где ЭКП - изменение затрат на подготовку и освоение производства;
З0, З1 - суммы затрат базисного и отчетного периода;
Q0, Q1 - объем выпуска товаров базисного и отчетного периода.

Если изменения величины затрат в анализируемый период не нашли отражения в вышеназванных факторах, то их относят к прочим. К ним можно отнести, например, изменение размеров или прекращение обязательных платежей, изменение величины затрат, включаемых в себестоимость продукции и др.

Выявленные в результате анализа факторы снижения себестоимости и резервы необходимо суммировать в окончательных выводах, определить суммарное влияние всех факторов на снижение общей величины затрат на единицу товара.

Для того, чтобы провести факторный анализ производительности труда, т.е. определить каким образом тот или иной технико-экономический фактор влияет на изменения этого показателя, вычисляют относительную экономию (увеличение) численности работников. Вычисления проводятся в следующей последовательности.

Сначала определяется относительное высвобождение промышленно-производственного персонала по сравнению с отчетным периодом в результате воздействия всех факторов:

L = L сп 0 qQ т 0 .

Затем, используя какой-либо из методов факторного анализа, определяют влияние изменения величины соответствующего фактора: выпуска товарной продукции, который может быть достигнут за счет роста объема производства (экстенсивного фактора), и роста средней годовой выработки на одного списочного рабочего, который может быть достигнут в результате мероприятий по повышению технического уровня производства (интенсивного фактора).

Одним из важных аспектов оценки деятельности фирмы является изучение ее эффективности с точки зрения собственника. Эффективность в данном случае, как и во многих других, можно оценивать путем определения показателя рентабельности. Однако простого расчета может оказаться недостаточно и его будет необходимо дополнить анализом. Самым популярным методом является, пожалуй, факторный анализ рентабельности собственного капитала. Остановимся более подробно на методике его проведения и основных особенностях.

Факторный анализ рентабельности собственного капитала обычно ассоциируется с формулами фирмы DuPont, которые позволяют быстро произвести все необходимые расчеты. Важно понять то, каким же образом эти формулы получились, к тому же в этом нет ничего сложного. Рентабельность капитала собственника, очевидно, определяется отношением полученной к величине этого капитала. Факторная модель получается из данного отношения путем элементарных преобразований. Их суть заключается в умножении числителя и знаменателя на выручку и активы. После этого легко заметить, что эффективность использования данной части капитала, его рентабельность, определяется произведением показателя степени финансовой зависимости на оборачиваемость имущества (активов) и уровень рентабельности продаж. После составления математической модели производится непосредственно ее анализ. Его можно проводить любым способом, подходящим для детерминированных моделей. Факторный анализ рентабельности собственного капитала с использованием формул DuPont представляет собой одну из вариаций способа абсолютных разниц. Он, в свою очередь, также является частным случаем метода цепных подстановок. Основной принцип данного метода кроется в поочередном определении воздействия каждого фактора изолированно, вне зависимости от остальных.

Стоит отметить, что аналогичным образом проводят и факторный анализ экономической рентабельности. Она являет собой отношение прибыли к активам. После небольших преобразований этот показатель можно представить произведением оборачиваемости имущества фирмы на рентабельность продаж. Последующий анализ идет тем же самым образом.

Необходимо особое внимание обратить на то, какие показатели должны быть использованы расчетах. Очевидно, что необходимо использовать информацию как минимум за два периода, чтобы была возможность пронаблюдать изменения. Данные, которые берутся из отчета о прибылях и убытках, имеют накопительный характер, так как представляют определенную величину за тот или иной период. В балансе же данные представлены на конкретную дату, поэтому лучше всего рассчитать их среднюю величину.

Указанные выше методы, то есть способ цепных подстановок и его модификации, могут использованы для анализа практически любой детерминированной факторной модели. Например, факторный анализ коэффициента текущей ликвидности может быть проведен предельно просто. Для большей детальности целесообразно раскрыть формулу этого коэффициента, отразив в числителе составляющие оборотных активов, а в знаменателе – краткосрочных обязательств. Затем требуется произвести расчет влияния каждого из выявленных факторов. Следует указать, что для данной модели нельзя применять абсолютные разницы и одноименный метод, так как она имеет кратный характер.

Ценность любого вида анализа сложно переоценить, а факторный анализ рентабельности собственного капитала и иных показателей является одним из лучших методов, способствующих принятию верных управленческих решений. Выявление сильного негативного влияния того или иного фактора явно указывает на то, куда следует направить воздействие. С другой же стороны, положительное влияние может свидетельствовать, например, о наличии определенных резервов роста прибыли.

Стохастический факторный анализ

Стохастическое моделирование факторных систем взаимосвязей отдельных сторон хозяйственной деятельности строится на обобщении закономерностей варьирования значений экономических показателей - количественных характеристик факторов и результатов хозяйственной деятельности. Количественные параметры связи выявляются на основе сопоставления значений изучаемых показателей в совокупности хозяйственных объектов или периодов.

Таким образом, первой предпосылкой стохастического моделирования является возможность составить совокупность наблюдений, т. е. возможность повторно измерить параметры одного и того же явления в различных условиях.

В стохастическом анализе, где сама модель составляется на основе совокупности эмпирических данных, предпосылкой получения реальной модели является совпадение количественных характеристик связей в разрезе всех исходных наблюдений. Это означает, что варьирование значений показателей должно происходить в пределах однозначной определенности качественной стороны явлений, характеристиками которых являются моделируемые экономические показатели (в пределах варьирования не должно происходить качественного скачка в характере отражаемого явления).

Значит, второй предпосылкой применяемости стохастического подхода моделирования связей является качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

Изучаемая закономерность изменения экономических показателей (моделируемая связь) выступает в скрытом виде. Она переплетается со случайными с точки зрения исследования (не изучаемыми) компонентами вариации и ковариации показателей. Закон больших чисел гласит, что только в большой совокупности закономерная связь выступает устойчивее случайного совпадения направления варьирования (случайной вариации).

Из этого вытекает третья предпосылка стохастического анализа – достаточная размерность (численность) совокупности наблюдений» позволяющая с достаточной надежностью и точностью выявить изучаемые закономерности (моделируемые связи).

Четвертая предпосылка стохастического подхода – наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей. Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моделируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных требований является важной предпосылкой применяемости методов и достоверности полученных результатов.

Основная особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при стохастическом анализе нельзя составлять модель путем качественного (теоретического) анализа, необходим количественный анализ эмпирических данных.

Методы стохастического факторного анализа:

Способ парной корреляции. Метод корреляционного и регрессионного (стохастического) анализа широко используется для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости, т.е. связь, проявляется не в каждом отдельном случае, а в определенной зависимости. С помощью парной корреляции решаются две главные задачи: оставляется модель действующих факторов (уравнение регрессии); дается количественная оценка тесноты связей (коэффициент корреляции).

Матричные модели. Матричные модели представляют собой схематическое отражение экономического явления или процесса с помощью научной абстракции. Наибольшее распространение здесь получил метод анализа «затраты-выпуск», строящийся по шахматной схеме и позволяющий в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства.

Математическое программирование – это основное средство решения задач по оптимизации производственно-хозяйственной деятельности.

Метод исследования операций направлен на изучение , в том числе производственно-хозяйственной деятельности предприятий, с целью определения такого сочетания структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени позволит определить наилучший экономический показатель из ряда возможных.

Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Интегральный метод факторного анализа

Элиминирование как способ детерминированного факторного анализа имеет важный недостаток. При его использовании исходят из того, что факторы изменяются независимо друг от друга, однако фактически они изменяются взаимосвязано, в результате образуется некоторый неразложимый остаток, который прибавляется к величине влияния одного из факторов (как правило, последнего). В связи с этим величина влияния факторов на изменение результативного показателя колеблется в зависимости от места фактора в детерминированной модели. Чтобы избавиться от этого недостатка, в детерминированном факторном анализе используется интегральный метод, который применяется для определения влияния факторов в мультипликативных, кратных и смешанных моделях кратно-аддитивного вида.

Использование этого способа позволяет получить более точные результаты вычисления влияния факторов по сравнению со способами цепной подстановки, абсолютных и относительных разниц и избежать неоднозначной оценки влияния: в данном случае результаты не зависят от местоположения факторов в модели, а дополнительный прирост результативного показателя, возникающий из-за взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну.

Для распределения дополнительного прироста недостаточно взять его часть, соответствующую количеству факторов, т. к. факторы могут действовать в разных направлениях. Поэтому изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т. е. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках. Операция вычисления определенного интеграла решается с помощью ПЭВМ и сводится к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы. В связи со сложностью вычисления некоторых определенных интегралов и дополнительные сложностей, связанных с возможным действием факторов в противоположных направлениях.

Факторный анализ чистой прибыли

Советуем прочитать нашу статью

Чистая прибыль является таким показателем эффективности деятельности фирмы, который с одной стороны испытывает на себе влияние наибольшего числа факторов по сравнению с другими видами прибыли, а с другой – является максимально точным и «честным» показателем. Именно по этим причинам данная величина требует к себе пристального внимания и должна подвергаться детальному изучению. Одним из наиболее популярных и часто применяемых методов является факторный анализ чистой прибыли. Как видно из названия, изучение прибыли подобным образом предполагает определение тех факторов, которые в наибольшей мере на нее воздействуют, а также определение конкретной величины данного воздействия.

Прежде чем рассматривать факторный анализ чистой прибыли, необходимо изучить то, как она формируется. Анализ формирования чистой прибыли проводится по отчету о прибылях и убытках. Это понятно, так как именно данная форма отчетности отражает порядок, которым идет формирование финансового результата функционирования фирмы. При изучении формирования прибыли полезно провести вертикальный анализ указанной формы отчетности. Он подразумевает нахождение удельного веса каждого из включенных в отчет показателей, а также последующее изучение его динамики. Как правило, в качестве базы сравнения выбирается выручка, которая считается равной ста процентам.

Факторный анализ чистой прибыли также целесообразно проводить по отчету о прибылях и убытках. Это объясняется тем, что эта форма отчетности позволяет легко и просто составить математическую модель, которая будет включать факторы, влияющие на размер прибыли. Факторы, оказывающие наибольшее влияние, следует расположить в модели перед факторами, влияние которых менее существенно. Отчет о прибылях и убытках отражает величину выручки, но не позволяет судить о ее изменениях под влиянием цены и объема реализации. Эти факторы являются чрезвычайно важными, поэтому их необходимо дополнительно учесть в модели, разделив влияние на прибыль выручки на две соответствующие части. После составления математической модели необходимо непосредственно подвергнуть ее анализу по определенной методике. Чаще всего прибегают к использованию метода цепных подстановок или его модификаций, например, метода абсолютных разниц. Этот выбор обусловлен простотой применения и точностью результатов.

После изучения процесса формирования и динамики необходимо провести анализ использования чистой прибыли. Логичней и проще всего изучить данный процесс будет путем проведения вертикального анализа, который уже упоминался выше. Очевидно, что в данном случае в качестве базы необходимо принять чистую прибыль. Затем нужно определить доли каждого направления расходования этой прибыли: на , в резервные фонды, на инвестиции и так далее. Естественно, необходимо изучить изменение данной структуры в динамике.

Очевидно, что для проведения любого из описанных выше видов анализа необходима информация за несколько периодов, хотя бы за два года. Это связано с тем, что на основе одного периода попросту невозможно делать какие-либо выводы о тех или иных изменениях. Однако стоит иметь в виду, что показатели должны быть сопоставимы, необходимо делать поправки в случае изменений в учетной политике или каких-либо других.

Будь то факторный анализ чистой прибыли или какой-нибудь другой, он обязательно должен завершаться формулировкой определенных выводов и рекомендаций. На основе изучения прибыли можно сделать множество выводов и о ценовой политике, и об управлении затратами, и о многом другом. Выводы и рекомендации представляют собой основу для принятия управленческих решений, которые являются жизненно важными для деятельности фирмы.

Факторный анализ метод цепных подстановок

Метод цепных подстановок является наиболее универсальным из методов элиминирования. Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивные, мультипликативных, кратных и смешанных (комбинированных). Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или другого фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить воздействие последнего на прирост результативного показателя.

Степень влияния того или иного показателя выявляется последовательным вычитанием: из второго расчета вычитается первый, из третьего – второй и т. д. В первом расчете все величины плановые, в последнем – фактические.

В случае трехфакторной мультипликативной модели алгоритм расчета следующий:

Y 0= а 0*Ь 0*С 0;
Y усл.1= а 1*Ь 0*С 0 ; У а= Y усл.1 – У 0;
Y усл.2= а 1*Ь 1*С 0; Y Ь= Y усл.2– Y усл.1;
Y ф= а 1*Ь 1*С 1; Y с= Y ф– Y усл.2и т. д.

Алгебраическая сумма влияния факторов обязательно должна быть равна общему приросту результативного показателя:

Y а+ Y ь+ Y с= Y ф– Y 0.

Отсутствие такого равенства свидетельствует о допущенных ошибках в расчетах.

Отсюда вытекает правило, заключающееся в том, что число расчетов на единицу больше, чем число показателей расчетной формулы.

При использовании метода цепных подстановок очень важно обеспечить строгую последовательность подстановки, т. к. ее произвольное изменение может привести к неправильным результатам. В практике анализа в первую очередь выявляется влияние количественных показателей, а потом – качественных. Так, если требуется определить степень влияния численности работников и производительности труда на размер выпуска промышленной продукции, то прежде устанавливают влияние количественного показателя численности работников, а потом качественного производительности труда. Если выясняется влияние факторов количества и цен на объем реализованной промышленной продукции, то вначале исчисляется влияние количества, а потом влияние оптовых цен. Прежде чем приступить к расчетам, необходимо, во-первых, выявить четкую взаимосвязь между изучаемыми показателями, во-вторых, разграничить количественные и качественные показатели, в-третьих, правильно определить последовательность подстановки в тех случаях, когда имеется несколько количественных и качественных показателей (основных и производных, первичных и вторичных). Таким образом, применение способа цепной подстановки требует знания взаимосвязи факторов, их соподчиненности, умения правильно их классифицировать и систематизировать.

Произвольное изменение последовательности подстановки меняет количественную весомость того или иного показателя. Чем значительнее отклонение фактических показателей от плановых, тем больше и различий в оценке факторов, исчисленных при разной последовательности подстановки.

Метод цепной подстановки обладает существенным недостатком, суть которого сводится к возникновению неразложимого остатка, который присоединяется к числовому значению влияния последнего фактора. Этим объясняется разница в расчетах при изменении последовательности подстановки. Отмеченный недостаток устраняется при использовании в аналитических расчетах более сложного интегрального метода.

Факторный анализ заработной платы

Он проводится с учетом анализа использования трудовых ресурсов на предприятии и уровня производительности труда. Известно, что с ростом производительности труда создаются реальные предпосылки для повышения уровня его оплаты. При этом средства на оплату труда нужно использовать таким образом, чтобы темпы роста производитель-ности труда обгоняли темпы роста его оплаты, так как это создает возможности для наращивания воспроизводства на предприятии.

Анализ использования ФЗП начинается с расчета абсолютных и относительных отклонений фактической его величины от плановой.

Производим последовательный расчет

Абсолютное отклонение ФЗПабс определяется сравнением фактически использованных средств на оплату труда плановым фондом заработной платы ФЗПпл в целом по предприятию, производственным подразделениям и категориям работников:

ФЗПабс= ФЗПф - ФЗПпл. = 21465-20500 = +965 млн..руб

Однако нужно иметь в виду, что абсолютное отклонение само по себе не характеризует использование ФЗП, так как этот показатель определяется без учета степени выполнения плана по производству продукции.

Относительное отклонение ФЗПотк рассчитывается как разность между фактически начисленной суммой зарплаты ФЗПф и плановым фондом, скорректированным на коэффициент выполнения плана по производству продукции Квп

Исходные данные для анализа ФЗП

Постоянная часть оплаты труда не изменяется при увеличении или спаде объема производства (зарплата рабочих по тарифным ставкам, зарплата служащих по окладам, все виды доплат, оплата труда работников непромышленных производств и соответствующая им сумма отпускных):

ФЗПотн = ФЗПф – ФЗПск = ФЗПag – (ФЗП пл..пер * Квп + ФЗП пл..пост) = 21465 – (13120 * 1,026 + 7380) = 21465 – 20841 = +424 млн.руб
где ФЗПск - фонд зарплаты плановый, скорректированный на коэффициент выполнения плана по выпуску продукции;
ФЗП пл..пер и ФЗП пл..пост - переменная и постоянная суммы планового планового фонда зарплаты.

При расчете ФЗПотн можно использовать, так называемый, поправочный коэффициент Кп который отражает удельный вес переменной зарплаты в общем фонде. Он показывает, на какую долю процента следует увеличить плановый ФЗП за каждый процент перевылнения плана по выпуску продукции (ВП, %)
Рыночная экономика

Назад | |

← Вернуться